Considere o sistema linear invariante no tempo cuja transformada de Fourier da resposta ao impulso h(t) é
H(j omega)=e^-j omegaomega^2+1
Determine o valor das integrais
I0=integral-infty^+infty h(t) d t , I1=integral-infty^+infty t h(t) d t
Determine também h(t).

Passo 1

O enunciado diz que temos um sistema LTI cuja resposta ao impulso H(jomega)=e^-jomegaomega^2+1, tem transformada de Fourier
I0=integral-infty^+inftyh(t),dt, I1=integral-infty^+inftyt,h(t),dt
Precisamos achar
e também encontrar a expressão de .
Conteúdo: transformada de Fourier, propriedade , propriedade da derivada em frequência para e transformada inversa usando a integral conhecida

Passo 2

Calcular H(jomega)=integral-infty^+inftyh(t)e^-jomega tdt .
Teoria: pela definição de TF,
H(j0)=integral-infty^+inftyh(t),dt = I0
logo, para boxedI0=1 ,
Aqui .
Logo

Passo 3

Calcular dHdomega =ddomega!integral h(t)e^-jomega tdt =integral h(t)l(-jtr)e^-jomega tdt =-j!integral t,h(t)e^-jomega tdt .
Teoria: derivada de dHdomega|omega=0 =-j!integral t,h(t),dt =-j,I1 Longrightarrow I1 = j,dHdomega|omega=0 em H(jomega)=e^-jomegaomega^2+1 Longrightarrow dHdomega =-j,e^-jomega(omega^2+1)-e^-jomegacdot2omega(omega^2+1)^2
dHdomega|0 =-jcdot1cdot1 - 1cdot01 =-j
Em I1 = jcdot(-j)= -j^2 = 1 :
boxedI1=1
Agora
Em :
Então

Passo 4

Determinar h(t) =12piintegral-infty^+inftyH(jomega),e^jomega tdomega =12piintegral-infty^+inftye^-jomegaomega^2+1,e^jomega tdomega =12piintegral-infty^+inftye^jomega(t-1)omega^2+1domega pela transformada inversa:
h(t) =12pi,pi,e^-|,t-1,| =12,e^-|t-1|
Usando a fórmula conhecida
boxedh(t)=12,e^-|t-1| ,
com , dá

Resposta

Exercícios relacionados