Determine os coeficientes da representação em série de Fourier dos seguintes sinais:
-) x[n]=sen(2 pi n / 7+pi / 6)+e^j pi n / 5

Passo 1

Beleza, a questão pede para determinarmos os coeficientes da série de Fourier discreta de
Conteúdo: estamos em sinais periódicos em tempo discreto e vamos usar a forma
x[n]=senl(2pi tfrac n7+tfracpi6r);+;e^,j,pi n/5,
para achar cada x[n]=sumk=-infty^inftyak,e^j kOmega0 n . O que precisamos:
  1. descobrir o período fundamental e a frequência fundamental ,
  2. reescrever cada parte de como soma de exponenciais,
  3. ler off os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, cada termo tem seu próprio período:
  • tem período N0=MMC(7,10)=70 (porque Omega0=2piN0=2pi70=pi35 causa repetição de 7 em 7).
  • tem período .
Então o período comum é
A frequência fundamental é

Passo 3

Anotando a forma geral
x[n]=sumk=-infty^infty ak,e^jkOmega0 n,
queremos reescrever cada pedaço em termos de sen(theta)=e^jtheta-e^-jtheta2j .
Para o seno usamos a identidade de Euler:
Aqui senl(2pi tfrac n7+tfracpi6r) =e^j(2pi n/7+pi/6)-e^-j(2pi n/7+pi/6)2j . Então

Passo 4

Note que
2pi/7 = 10,Omega0,pois 10cdotpi35=10pi35=2pi7
Logo
e^j(2pi n/7+pi/6) =e^j,10,Omega0,n;e^j,pi/6, e^-j(2pi n/7+pi/6) =e^-j,10,Omega0,n;e^-j,pi/6
Substituindo no seno:
Isso já nos dá os senl(2pi tfrac n7+tfracpi6r) =e^jpi/62j,e^j,10Omega0 n ;-;e^-jpi/62j,e^-j,10Omega0 n para e .

Passo 5

Agora o termo exponencial:
e^jpi n/5=e^j(2pi n/10)
Como e^jpi n/5=e^j,7,Omega0,n (porque ), podemos escrever
Isso significa que há um coeficiente .
Fora esses valores de , todos os outros coeficientes são zero.

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier discreta de ak = dfrace^jpi/62j, & k = +10, [6pt] -dfrace^-jpi/62j, & k = -10, [6pt] 1, & k = +7, [4pt] 0, & caso contrário são
á

Exercícios relacionados