Determine y(0) para
a) y(t)=x(t) * x(-t) , x(t) real, integral-infty^+infty|X(j omega)|^2 d omega=1

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o problema pede:
– Temos , ou seja, a convolução de com .
– O sinal é real e satisfaz .
Conteúdo: convolução em tempo e Teorema de Parseval (ligação entre energia no tempo e no espectro).

Passo 2

Primeiro, lembra como é a definição de convolução:
y(t) = integral-infty^infty x(tau),xl(-l(t-taur)r),dtau
Aí o truque é avaliar isso em .

Passo 3

Substituindo y(0) = integral-infty^infty x(tau),xl(-l(0-taur)r),dtau = integral-infty^infty x(tau),x(tau),dtau = integral-infty^infty x^2(tau),dtau na fórmula:
Ou seja, é simplesmente a “energia” de no tempo.

Passo 4

Agora entra o Teorema de Parseval, que diz (para a transformada de Fourier contínua)
integral-infty^infty x^2(t),dt = 12pi,integral-infty^infty l|X(jomega)r|^2,domega
Como integral-infty^infty x^2(t),dt = 12pi,cdot 1 = 12pi , temos

Resposta

boxedy(0) = 12pi

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