Determine a transformada de Fourier
dos sinais em tempo discreto
d)
, sendo
d)
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar a Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) do sinal
Conteúdo: DTFT e soma de séries geométricas. Vamos usar a definição
e lembretes sobre somas geométricas convergentes (porque
).
Passo 2
Primeiro, aplicamos a definição da DTFT:
Para identificar duas séries geométricas, separamos a soma em três partes:
-
, -
, -
.
Passo 3
Tratando cada parte:
- Para
, temos . - Para
, , então a soma é
Isso é uma série geométrica de razão
. Como
,
e a soma vale
Passo 4
- Para
, definimos . Então e . A soma vira
De novo é série geométrica, agora com razão
, cuja soma é
Passo 5
Somando tudo:
Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador
.
O numerador se torna
O numerador se torna
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