Determine a transformada de Fourier X(e^j omega) dos sinais em tempo discreto
d) x[n]=alpha^|n|, sendo |alpha|<1

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar a Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) do sinal
x[n] = alpha^|n|, |alpha|<1
Conteúdo: DTFT e soma de séries geométricas. Vamos usar a definição
Xl(e^jomegar) ;=; sumn=-infty^infty x[n],e^-jomega n,
e lembretes sobre somas geométricas convergentes (porque ).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a definição da DTFT:
Xl(e^jomegar) = sumn=-infty^infty alpha^|n|,e^-jomega n
Para identificar duas séries geométricas, separamos a soma em três partes:
  1. ,
  2. ,
  3. .

Passo 3

Tratando cada parte:
  1. Para sumn=1^infty alpha^n e^-jomega n = sumn=1^infty l(alpha e^-jomegar)^n , temos sumn=1^infty r1^n = r11-r1 = alpha e^-jomega1-alpha e^-jomega .
  2. Para , , então a soma é
Isso é uma série geométrica de razão . Como , e a soma vale

Passo 4

  1. Para sumn=-infty^-1 alpha^|n| e^-jomega n = sumk=1^infty alpha^k e^jomega k = sumk=1^infty l(alpha e^jomegar)^k , definimos r21-r2 = alpha e^jomega1-alpha e^jomega . Então e . A soma vira
De novo é série geométrica, agora com razão , cuja soma é

Passo 5

Somando tudo:
Xl(e^jomegar) = 1 + alpha e^-jomega1-alpha e^-jomega + alpha e^jomega1-alpha e^jomega
Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador
(1-alpha e^jomega) + (alpha e^jomega)(1-alpha e^-jomega) = 1 - alpha^2 .
O numerador se torna
Xl(e^jomegar) = 1-alpha^21 - 2alphacosomega + alpha^2
Logo

Resposta

boxedXl(e^jomegar) = 1-alpha^21 - 2alphacosomega + alpha^2, |alpha|<1

Exercícios relacionados