Jacobi: ao calcular x_i^{(k+1)} usa-se apenas valores da iteração anterior x_j^{(k)} para todos j\ne i. Ou seja, toda a iteração k+1 é construída a partir de x^{(k)}.
Gauss–Seidel: ao calcular x_i^{(k+1)} usa-se, sempre que disponível, o valor mais recente (atualizado) das componentes x_j. Ou seja, dentro da iteração k+1 usamos já os x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)},\ldots conforme são computados.
Isso é tudo que precisamos para começar a iterar. Vou mostrar as contas passo a passo, sem pular nada.]
Passo 3
Escolha da aproximação inicial e explicação rápida:
Vou usar \displaystyle x^{(0)}=(0,0,0,0)^T. Isso é comum em provas e suficiente para comparar os métodos.
Em cada passo vou calcular a norma indicada pelo enunciado: primeiro \displaystyle \Delta^{(k)}=\max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}| e \displaystyle M^{(k)}=\max_{i}|x_i^{(k)}| e verificar se \Delta^{(k)}/M^{(k)}<10^{-3}. Se M^{(k)}=0 (não vai ocorrer depois da iteração 1), usa-se teste absoluto, mas aqui não haverá esse caso.
Agora vamos ao método de Jacobi primeiro.
Passo 4
Jacobi — iteração k=1 (toda com x^{(0)}=(0,0,0,0)^T):
(Cálculos passo a passo realizados exatamente como nas iterações anteriores; por exemplo x_1^{(3)}=(48-2(-1{,}7)+3(5{,}52)-5(7{,}36))/10=3{,}116, etc.)
Portanto o método de Jacobi satisfaz o critério de parada na iteração k=7. A solução aproximada (Jacobi) é o vetor acima.
Agora passo para Gauss–Seidel, que costuma convergir mais rápido.
Passo 9
Gauss–Seidel — explicação prática e iteração inicial:
Regra prática: dentro de cada iteração k+1 atualiza-se x_1,x_2,\ldots sequencialmente e cada nova componente é usada imediatamente nas fórmulas seguintes.
Com x^{(0)}=(0,0,0,0)^T obtemos na primeira iteração: