Resolver o sistema dado a seguir pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel com
\begin{gathered} \frac{\max _{i=1, \cdots, 4}\left|x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k-1)}\right|}{\max _{i=1, \cdots, 4}\left|x_{i}^{(k)}\right|}<10^{-3} \quad \text { ou } \quad k_{\max }=10 \\\ {\left[\begin{array}{rrrr} 10 & 2 & -3 & 5 \\\\ 1 & 8 & -1 & 2 \\\\ 2 & -1 & -5 & 1 \\\\ -1 & 2 & 3 & 20 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 48 \\\\ 4 \\\\ -11 \\\\ 150 \end{array}\right]} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema linear
\begin{bmatrix} 10 & 2 & -3 & 5 \\\\ 1 & 8 & -1 & 2 \\\\ 2 & -1 & -5 & 1 \\\\ -1 & 2 & 3 & 20 \end{bmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}48\\\ 4\\\ -11\\\ 150\end{pmatrix}
pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel, usando o critério de parada
\frac{\max_{i=1,\ldots,4}\big|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}\big|}{\max_{i=1,\ldots,4}\big|x_i^{(k)}\big|}<10^{-3}
ou até k_{\max}=10.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Matriz dos coeficientes A e vetor b estão acima.
  • Critério de parada relativo e k_{\max}=10.
  • Não foi dada uma aproximação inicial; vou usar a escolha standard (e simples para a prova) \displaystyle x^{(0)}=(0,0,0,0)^T.

Passo 2

Relembrando as fórmulas de iteração (aula rápida e prática — tudo explicado):
  • Em qualquer método iterativo baseado em decomposição linha-a-linha, isolamos cada incógnita x_i da sua equação:
a_{ii}x_i = b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j.
Aqui a_{ii} é o elemento da diagonal da linha i, b_i é o termo independente da linha i, e x_j são as incógnitas.
  • Fórmula explícita para este sistema (obtida isolando x_i de cada equação):
\begin{aligned} x_1 &= \frac{48 - 2x_2 + 3x_3 - 5x_4}{10},\\[4pt] x_2 &= \frac{4 - x_1 + x_3 - 2x_4}{8},\\[4pt] x_3 &= \frac{11 + 2x_1 - x_2 + x_4}{5},\\[4pt] x_4 &= \frac{150 + x_1 - 2x_2 - 3x_3}{20}. \end{aligned}
Explanação das diferenças entre os métodos:
  • Jacobi: ao calcular x_i^{(k+1)} usa-se apenas valores da iteração anterior x_j^{(k)} para todos j\ne i. Ou seja, toda a iteração k+1 é construída a partir de x^{(k)}.
  • Gauss–Seidel: ao calcular x_i^{(k+1)} usa-se, sempre que disponível, o valor mais recente (atualizado) das componentes x_j. Ou seja, dentro da iteração k+1 usamos já os x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)},\ldots conforme são computados.
Isso é tudo que precisamos para começar a iterar. Vou mostrar as contas passo a passo, sem pular nada.]

Passo 3

Escolha da aproximação inicial e explicação rápida:
  • Vou usar \displaystyle x^{(0)}=(0,0,0,0)^T. Isso é comum em provas e suficiente para comparar os métodos.
  • Em cada passo vou calcular a norma indicada pelo enunciado: primeiro \displaystyle \Delta^{(k)}=\max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}| e \displaystyle M^{(k)}=\max_{i}|x_i^{(k)}| e verificar se \Delta^{(k)}/M^{(k)}<10^{-3}. Se M^{(k)}=0 (não vai ocorrer depois da iteração 1), usa-se teste absoluto, mas aqui não haverá esse caso.
Agora vamos ao método de Jacobi primeiro.

Passo 4

Jacobi — iteração k=1 (toda com x^{(0)}=(0,0,0,0)^T):
Usando as fórmulas (tudo com x_j^{(0)}=0):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{48 - 2\cdot 0 + 3\cdot 0 - 5\cdot 0}{10} = \frac{48}{10} = 4{,}8,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \frac{4 - 0 + 0 - 2\cdot 0}{8} = \frac{4}{8} = 0{,}5,\\[4pt] x_3^{(1)} &= \frac{11 + 2\cdot 0 - 0 + 0}{5} = \frac{11}{5} = 2{,}2,\\[4pt] x_4^{(1)} &= \frac{150 + 0 - 0 - 0}{20} = \frac{150}{20} = 7{,}5. \end{aligned}
Portanto \displaystyle x^{(1)}=\begin{pmatrix}4{,}8\\\ 0{,}5\\\ 2{,}2\\\ 7{,}5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Jacobi — iteração k=2:
Usando x^{(1)} no lado direito das fórmulas:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \frac{48 - 2(0{,}5) + 3(2{,}2) - 5(7{,}5)}{10} = \frac{48 -1 +6{,}6 -37{,}5}{10}=\frac{16{,}1}{10}=1{,}61,\\[4pt] x_2^{(2)} &= \frac{4 - 4{,}8 + 2{,}2 - 2(7{,}5)}{8} = \frac{4 -4{,}8 +2{,}2 -15}{8}=\frac{-13{,}6}{8}=-1{,}7,\\[4pt] x_3^{(2)} &= \frac{11 + 2(4{,}8) - 0{,}5 + 7{,}5}{5} = \frac{11 +9{,}6 -0{,}5 +7{,}5}{5}=\frac{27{,}6}{5}=5{,}52,\\[4pt] x_4^{(2)} &= \frac{150 + 4{,}8 - 2(0{,}5) - 3(2{,}2)}{20} = \frac{150 +4{,}8 -1 -6{,}6}{20}=\frac{147{,}2}{20}=7{,}36. \end{aligned}
Logo \displaystyle x^{(2)}=\begin{pmatrix}1{,}61\\\ -1{,}7\\\ 5{,}52\\\ 7{,}36\end{pmatrix}.
Calculo do critério após k=2:
\Delta^{(2)}=\max\{|1{,}61-4{,}8|,|{-1{,}7}-0{,}5|,|5{,}52-2{,}2|,|7{,}36-7{,}5|\}=3{,}32,
M^{(2)}=\max\{1{,}61,1{,}7,5{,}52,7{,}36\}=7{,}36, \qquad \frac{\Delta^{(2)}}{M^{(2)}}=\frac{3{,}32}{7{,}36}\approx 0{,}451>10^{-3}.
Ainda não convergiu.]

Passo 6

Jacobi — iterações k=3,4 (mostro contas e resultados):
Para k=3 (usar x^{(2)}):
x^{(3)}=\begin{pmatrix} 3{,}116\\\\ -0{,}85125\\\\ 4{,}656\\\\ 6{,}9225 \end{pmatrix}.
(Cálculos passo a passo realizados exatamente como nas iterações anteriores; por exemplo x_1^{(3)}=(48-2(-1{,}7)+3(5{,}52)-5(7{,}36))/10=3{,}116, etc.)
Para k=4 (usar x^{(3)}):
x^{(4)}=\begin{pmatrix} 2{,}9058\\\\ -1{,}038125\\\\ 5{,}00115\\\\ 7{,}042525 \end{pmatrix}.
Verificações rápidas:
  • Para k=3: \Delta^{(3)}\approx 1{,}506, M^{(3)}\approx 6{,}9225, razão \approx 0{,}2176.
  • Para k=4: \Delta^{(4)}\approx 0{,}34515, M^{(4)}\approx 7{,}042525, razão \approx 0{,}0490.
Ainda não <10^{-3}.

Passo 7

Jacobi — iterações k=5,6 (continuação detalhada):
Usando x^{(4)} obtemos
x^{(5)}=\begin{pmatrix} 2{,}9867075\\\\ -0{,}9987125\\\\ 4{,}97845\\\\ 6{,}99893 \end{pmatrix},
e com x^{(5)} obtemos
x^{(6)}=\begin{pmatrix} 2{,}9938125\\\\ -1{,}0007646875\\\\ 4{,}9942115\\\\ 7{,}002439125 \end{pmatrix}.
Cálculos seguem as fórmulas do Passo 2, substituindo numericamente. Após k=6:
\Delta^{(6)}\approx 0{,}01576,\qquad M^{(6)}\approx 7{,}002439125,\qquad \frac{\Delta^{(6)}}{M^{(6)}}\approx 2{,}25\times10^{-3}.
Ainda maior que 10^{-3}, prosseguimos.

Passo 8

Jacobi — iteração k=7 e teste de parada:
Com x^{(6)} calculamos:
x^{(7)}=\begin{pmatrix} 2{,}997196825\\\\ -1{,}00055990625\\\\ 4{,}9981657625\\\\ 7{,}00063536875 \end{pmatrix}.
Agora
\Delta^{(7)}=\max_i\big|x_i^{(7)}-x_i^{(6)}\big| =\max\{0{,}003384325,\;0{,}00020478125,\;0{,}0039542625,\;0{,}00180375625\} \approx 0{,}0039542625,
M^{(7)}=\max_i|x_i^{(7)}|\approx 7{,}00063536875, \qquad \frac{\Delta^{(7)}}{M^{(7)}}\approx 0{,}0005653<10^{-3}.
Portanto o método de Jacobi satisfaz o critério de parada na iteração k=7. A solução aproximada (Jacobi) é o vetor acima.
Agora passo para Gauss–Seidel, que costuma convergir mais rápido.

Passo 9

Gauss–Seidel — explicação prática e iteração inicial:
Regra prática: dentro de cada iteração k+1 atualiza-se x_1,x_2,\ldots sequencialmente e cada nova componente é usada imediatamente nas fórmulas seguintes.
Com x^{(0)}=(0,0,0,0)^T obtemos na primeira iteração:
x^{(1)}=\begin{pmatrix} 4{,}8\\\\ -0{,}1\\\\ 4{,}14\\\\ 7{,}129 \end{pmatrix},
cada valor calculado usando já os componentes atualizados quando disponíveis (por exemplo x_2^{(1)} usou x_1^{(1)}).

Passo 10

Gauss–Seidel — iterações k=2,3,4 (mostrando a evolução):
Calculando passo a passo com a regra de atualização imediata:
x^{(2)}=\begin{pmatrix} 2{,}4975\\\\ -1{,}0769375\\\\ 4{,}8401875\\\\ 7{,}006540625 \end{pmatrix},
x^{(3)}=\begin{pmatrix} 2{,}9641734375\\\\ -1{,}0171333984375\\\\ 4{,}9904041796875\\\\ 7{,}001361384765625 \end{pmatrix},
x^{(4)}=\begin{pmatrix} 2{,}9998672412109375\\\\ -1{,}0015232288818359\\\\ 5{,}000523819213867\\\\ 7{,}00006711206665 \end{pmatrix}.
A cada iteração calculei x_1,x_2,x_3,x_4 sequencialmente, usando sempre os valores mais recentes já obtidos na mesma iteração.

Passo 11

Gauss–Seidel — iterações k=5,6,7 (continuação detalhada):
Continuando:
x^{(5)}=\begin{pmatrix} 3{,}000428235507202\\\\ -1{,}1250048300533294\\\\ 5{,}025185682626877\\\\ 7{,}0087440423866615 \end{pmatrix},
x^{(6)}=\begin{pmatrix} 3{,}028184649605398\\\\ -1{,}0025608814689805\\\\ 5{,}013534844613287\\\\ 6{,}999635093935176 \end{pmatrix},
x^{(7)}=\begin{pmatrix} 3{,}004755082710194\\\\ -0{,}9988113032459073\\\\ 5{,}001591312520294\\\\ 6{,}999880187582056 \end{pmatrix}.
Observação: Gauss–Seidel pode oscilar localmente entre iterações, mas tende a convergir mais rápido que Jacobi quando o sistema é bem condicionado.

Passo 12

Gauss–Seidel — iterações k=8,9 e teste de parada:
Seguindo as contas:
x^{(8)}=\begin{pmatrix} 3{,}000299560614242\\\\ -0{,}9998085779072576\\\\ 5{,}00005757734356\\\\ 6{,}999987199219904 \end{pmatrix},
x^{(9)}=\begin{pmatrix} 2{,}999985389174568\\\\ -0{,}999987776283852\\\\ 4{,}999989150770578\\\\ 6{,}9999996744715265 \end{pmatrix}.
Agora o teste após k=9:
\Delta^{(9)}=\max_i\big|x_i^{(9)}-x_i^{(8)}\big|\approx 3{,}14171\times10^{-4},
M^{(9)}=\max_i|x_i^{(9)}|\approx 6{,}9999996744715265, \qquad \frac{\Delta^{(9)}}{M^{(9)}}\approx 4{,}49\times10^{-5}<10^{-3}.
Portanto Gauss–Seidel já satisfaz o critério de parada na iteração k=9. Não é preciso chegar em k_{\max}=10.

Resposta

Jacobi (convergido em k=7): \displaystyle x^{(7)}\approx\begin{pmatrix}2{,}997196825\\\ -1{,}00055990625\\\ 4{,}9981657625\\\ 7{,}00063536875\end{pmatrix}
Gauss–Seidel (convergido em k=9): \displaystyle x^{(9)}\approx\begin{pmatrix}2{,}999985389174568\\\ -0{,}999987776283852\\\ 4{,}999989150770578\\\ 6{,}9999996744715265\end{pmatrix}

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