Pelo critério de Sassenfeld, isso garante que o método de Gauss–Seidel convergerá para a solução do sistema a partir de qualquer vetor inicial (portanto também a partir de x^{(0)}=(0,0,0)).
Observação adicional (útil para prova, não obrigatória): a matriz é também estritamente diagonalmente dominante por linhas (por exemplo, na linha 2: |a_{22}|=10> |a_{21}|+|a_{23}|=3), o que é outra condição suficiente para convergência. Mas o que bastava aqui era mostrar \max\beta_i<1.
Resposta
Sim, satisfaz o critério de Sassenfeld, com \beta_1=0{,}2,\\ \beta_2=0{,}22,\\ \beta_3=0{,}044 e \max\beta_i=0{,}22<1.
Logo o método de Gauss–Seidel converge para a solução do sistema a partir de qualquer vetor inicial (em particular a partir de x^{(0)}=(0,0,0)).