Considere x^{(0)}=(0,0,0) e o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}-2 x_{2}=9 \\\\ -x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7 \\\\ -2 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{array}\right.
Verifique se o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld. O que podemos dizer sobre a convergência do método de Gauss-Seidel?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com vetor inicial x^{(0)}=(0,0,0):
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}-2 x_{2}=9,\\[4pt] - x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7,\\[4pt] -2 x_{2}+10 x_{3}=6, \end{array}\right.
As informações relevantes que temos são:
  • A matriz dos coeficientes A e o termo independente b (extraídos do sistema).
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Verificar se o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld.
    2. Dizer o que isso implica sobre a convergência do método de Gauss–Seidel (para qualquer inicialização e, em particular, para x^{(0)}=(0,0,0)).]

Passo 2

O que é e como aplicar o critério de Sassenfeld (aula rápida):
  • Seja A=(a_{ij}) a matriz dos coeficientes de um sistema linear. Define-se uma sequência \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n por recorrência:
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\Big).
  • Interpretação das variáveis na fórmula:
    • a_{ii} é o coeficiente da variável x_i na i-ésima equação (elemento da diagonal).
    • Os termos |a_{ij}| são os módulos dos demais coeficientes da i-ésima linha.
    • No primeiro somatório são usados os \beta_j já calculados (para j<i); no segundo somatório aparecem os módulos dos coeficientes para j>i.
  • Critério: se \max_i \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução do sistema para qualquer vetor inicial.
  • Observação: o cálculo é feito linha a linha, na ordem das equações.

Passo 3

Extrair a matriz A (peguei do enunciado) e listar seus coeficientes por linha:
  • Linha 1: a_{11}=10,\;a_{12}=-2,\;a_{13}=0.
  • Linha 2: a_{21}=-1,\;a_{22}=10,\;a_{23}=-2.
  • Linha 3: a_{31}=0,\;a_{32}=-2,\;a_{33}=10.
    Vamos calcular \beta_1,\beta_2,\beta_3 nesta ordem.

Passo 4

Calcular \beta_1:
  • Pela fórmula, para i=1 não existe somatório com \beta_j porque não há j<1. Assim
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{3}|a_{1j}| =\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}.
  • Substituindo os valores:
\beta_1=\frac{2+0}{10}=\frac{2}{10}=0{,}2.

Passo 5

Calcular \beta_2:
  • Para i=2 a fórmula é
\beta_2=\frac{1}{|a_{22}|}\big(|a_{21}|\beta_1+\sum_{j=3}^{3}|a_{2j}|\big) =\frac{|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|}{|a_{22}|}.
  • Substituindo valores e o \beta_1 encontrado:
\beta_2=\frac{1\cdot 0{,}2 + 2}{10}=\frac{0{,}2+2}{10}=\frac{2{,}2}{10}=0{,}22.

Passo 6

Calcular \beta_3:
  • Para i=3 temos
\beta_3=\frac{1}{|a_{33}|}\Big(|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2+\sum_{j=4}^{3}(\cdot)\Big).
(O último somatório é vazio porque não há j>3.)
  • Substituindo:
\beta_3=\frac{0\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}22}{10}=\frac{0 + 0{,}44}{10}=\frac{0{,}44}{10}=0{,}044.

Passo 7

Analisar os \beta_i e tirar conclusão:
  • Temos \beta_1=0{,}2,\;\beta_2=0{,}22,\;\beta_3=0{,}044.
  • Portanto \max_i \beta_i = 0{,}22 < 1.
  • Pelo critério de Sassenfeld, isso garante que o método de Gauss–Seidel convergerá para a solução do sistema a partir de qualquer vetor inicial (portanto também a partir de x^{(0)}=(0,0,0)).
Observação adicional (útil para prova, não obrigatória): a matriz é também estritamente diagonalmente dominante por linhas (por exemplo, na linha 2: |a_{22}|=10> |a_{21}|+|a_{23}|=3), o que é outra condição suficiente para convergência. Mas o que bastava aqui era mostrar \max\beta_i<1.

Resposta

Sim, satisfaz o critério de Sassenfeld, com \beta_1=0{,}2,\\ \beta_2=0{,}22,\\ \beta_3=0{,}044 e \max\beta_i=0{,}22<1.
Logo o método de Gauss–Seidel converge para a solução do sistema a partir de qualquer vetor inicial (em particular a partir de x^{(0)}=(0,0,0)).

Exercícios relacionados