Considere x^{(0)}=(0,0,0) e o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}-2 x_{2}=9 \\\\ -x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7 \\\\ -2 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{array}\right.
Verifique se o sistema satisfaz o critério de linhas. O que podemos dizer sobre a convergência do método de Jacobi?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com x^{(0)}=(0,0,0):
\begin{cases} 10 x_{1}-2 x_{2}=9,\\[4pt] - x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7,\\[4pt] -2 x_{2}+10 x_{3}=6, \end{cases}
e pede: (i) verificar se o sistema satisfaz o critério de linhas (critério de dominância diagonal por linhas); (ii) dizer o que isso implica sobre a convergência do método de Jacobi.
Vou listar e usar as informações explícitas do enunciado sem assumir nada além disso.]

Passo 2

Montar a matriz dos coeficientes A e o vetor termo independente b. A partir das equações:
A=\begin{pmatrix} 10 & -2 & 0\\[4pt] -1 & 10 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 10 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}9\\[4pt]7\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 3

Explicar o critério de linhas (dominância diagonal por linhas): é necessário verificar, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Isto significa que o valor absoluto do elemento diagonal da linha deve ser estritamente maior que a soma dos valores absolutos dos demais elementos da mesma linha. Se isso ocorrer para todas as linhas, diz-se que A é estritamente diagonalmente dominante por linhas.

Passo 4

Aplicar o critério a cada linha de A e calcular explicitamente.
  • Linha 1: |a_{11}|=|10|=10 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|{-2}|+|0|=2+0=2. Então 10>2 — condição satisfeita.
  • Linha 2: |a_{22}|=10 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|{-1}|+|{-2}|=1+2=3. Então 10>3 — condição satisfeita.
  • Linha 3: |a_{33}|=10 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|0|+|{-2}|=0+2=2. Então 10>2 — condição satisfeita.
Portanto, A é estritamente diagonalmente dominante por linhas: o sistema satisfaz o critério de linhas.

Passo 5

Explicar o método de Jacobi e como a dominância garante convergência. Para aplicar Jacobi, escrevemos A=D+N, onde D é a diagonal de A e N=A-D contém os outros elementos. A iteração de Jacobi é
x^{(k+1)}=D^{-1}\bigl(b-N x^{(k)}\bigr),
ou seja, tem forma linear
x^{(k+1)}=B_J x^{(k)}+c,\qquad B_J=-D^{-1}N.
Um critério suficiente para convergência do método é que o raio espectral \rho(B_J)<1. Uma maneira prática de garantir isso é mostrar que alguma norma subordinada de B_J é menor que 1 (pois \rho(B_J)\le\|B_J\|). Se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, costuma-se obter \|B_J\|_\infty<1, o que garante convergência para qualquer x^{(0)}.

Passo 6

Calcular explicitamente D,N e B_J e estimar a norma infinito (norma de linha) de B_J.
D=\begin{pmatrix}10&0&0\\[4pt]0&10&0\\[4pt]0&0&10\end{pmatrix},\qquad N=A-D=\begin{pmatrix}0&-2&0\\[4pt]-1&0&-2\\[4pt]0&-2&0\end{pmatrix}.
Logo
B_J=-D^{-1}N=-\begin{pmatrix}\tfrac{1}{10}&0&0\\[4pt]0&\tfrac{1}{10}&0\\[4pt]0&0&\tfrac{1}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&-2&0\\[4pt]-1&0&-2\\[4pt]0&-2&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0,2 & 0\\[4pt] 0,1 & 0 & 0,2\\[4pt] 0 & 0,2 & 0 \end{pmatrix}.
Agora a norma infinito (soma absoluta das entradas de cada linha, tomando o máximo):
  • soma da linha 1: 0+0,2+0=0,2,
  • soma da linha 2: 0,1+0+0,2=0,3,
  • soma da linha 3: 0+0,2+0=0,2.
Portanto
\|B_J\|_\infty=0,3<1.
Como \rho(B_J)\le\|B_J\|_\infty, obtemos \rho(B_J)<1, o que garante convergência da iteração de Jacobi para a solução verdadeira a partir de qualquer x^{(0)}, incluindo o x^{(0)}=(0,0,0) dado.]

Passo 7

Comentários práticos e motivação final: além de garantir convergência, o fato de \|B_J\|_\infty=0,3 dá uma ideia da taxa de convergência (erro medido na norma infinito é contraiado por, no máximo, um fator 0,3 a cada iteração, de forma assintótica). Isso é ótimo: a convergência será rápida neste caso.

Resposta

Sim. A matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas: |a_{11}|=10>2, |a_{22}|=10>3, |a_{33}|=10>2.
Logo o método de Jacobi converge para a solução a partir de qualquer inicial (em particular a partir de x^{(0)}=(0,0,0)).
Além disso, o tensor de iteração de Jacobi é B_J=\begin{pmatrix}0&0,2&0\\[4pt]0,1&0&0,2\\[4pt]0&0,2&0\end{pmatrix} e \|B_J\|_\infty=0,3<1, garantindo \rho(B_J)<1 e convergência.]

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