Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{3}=0,2 \\\\ -0,5 x_{1}+x_{2}-0,25 x_{3}=-1,425 \\\ x_{1}-0,5 x_{2}+x_{3}=2 \end{array}\right.
Verifique se o sistema satisfaz o critério de linhas.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{3}=0,2 \\[4pt] -0,5\,x_{1}+x_{2}-0,25\,x_{3}=-1,425 \\[4pt] x_{1}-0,5\,x_{2}+x_{3}=2 \end{array}\right.
O que foi pedido: verificar se o sistema satisfaz o critério de linhas (ou seja, se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante por linhas na ordem dada).
Dados relevantes que vou usar (extraídos do enunciado):
  • Coeficientes da matriz A e do vetor b:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\\\ -0,5 & 1 & -0,25 \\\\ 1 & -0,5 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0,2\\\ -1,425\\\ 2\end{pmatrix}.
  • Pedido: testar a condição de dominância linha a linha para a matriz A.]

Passo 2

O que é o “critério de linhas” (explicação didática, passo a passo):
  • Para uma matriz A=(a_{ij}) dizemos que ela é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
  • Se em vez de > tivermos \ge para todas as linhas, dizemos que é diagonalmente dominante por linhas (não estrita).
  • Significado prático: essa condição (especialmente a estrita) garante convergência de métodos iterativos como Jacobi e Gauss–Seidel; é por isso que costumamos checar esse critério em exercícios.
  • Aqui, vou calcular para cada linha i o valor |a_{ii}| e o somatório S_i=\sum_{j\ne i}|a_{ij}| e comparar.

Passo 3

Preparando os cálculos: para a matriz A escrita acima, as entradas que precisamos analisar linha a linha são:
  • Linha 1: a_{11}=1,\;a_{12}=0,\;a_{13}=-1.
  • Linha 2: a_{21}=-0,5,\;a_{22}=1,\;a_{23}=-0,25.
  • Linha 3: a_{31}=1,\;a_{32}=-0,5,\;a_{33}=1.
Vou calcular |a_{ii}| e S_i=\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para i=1,2,3.

Passo 4

Linha 1:
|a_{11}|=|1|=1.
S_1=|a_{12}|+|a_{13}|=|0|+|-1|=0+1=1.
Comparação: |a_{11}|=1 e S_1=1. Portanto nesta linha a desigualdade estrita não vale, temos igualdade:
|a_{11}|=S_1.

Passo 5

Linha 2:
|a_{22}|=|1|=1.
S_2=|a_{21}|+|a_{23}|=|-0,5|+|-0,25|=0,5+0,25=0,75.
Comparação: |a_{22}|=1>0,75=S_2. Portanto a linha 2 é estritamente diagonalmente dominante.

Passo 6

Linha 3:
|a_{33}|=|1|=1.
S_3=|a_{31}|+|a_{32}|=|1|+|-0,5|=1+0,5=1,5.
Comparação: |a_{33}|=1 < 1,5=S_3. Ou seja, a linha 3 NÃO satisfaz nem a dominância fraca ( \ge); aqui a desigualdade é violada.

Passo 7

Interpretação final dos resultados (rápido e amigável): para verificar o critério de linhas precisamos que todas as linhas satisfaçam a desigualdade (pelo menos |a_{ii}|\ge S_i para dominância fraca, ou > para a estrita). Aqui:
  • linha 1: igualdade ( |a_{11}|=S_1),
  • linha 2: estrita ( |a_{22}|>S_2),
  • linha 3: falha ( |a_{33}|<S_3).
Como a linha 3 viola a condição, a matriz não é diagonalmente dominante por linhas na ordem dada. Logo o sistema NÃO satisfaz o critério de linhas.
Força aí — deu trabalho, mas a conclusão é clara e simples de checar na prova: calcular os valores absolutos linha a linha e comparar.

Resposta

Não. O sistema não satisfaz o critério de linhas (a linha 3 viola a desigualdade: |a_{33}|=1<1,5=|a_{31}|+|a_{32}|).

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