O que foi pedido: verificar se o sistema satisfaz o critério de linhas (ou seja, se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante por linhas na ordem dada).
Dados relevantes que vou usar (extraídos do enunciado):
Pedido: testar a condição de dominância linha a linha para a matriz A.]
Passo 2
O que é o “critério de linhas” (explicação didática, passo a passo):
Para uma matriz A=(a_{ij}) dizemos que ela é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Se em vez de > tivermos \ge para todas as linhas, dizemos que é diagonalmente dominante por linhas (não estrita).
Significado prático: essa condição (especialmente a estrita) garante convergência de métodos iterativos como Jacobi e Gauss–Seidel; é por isso que costumamos checar esse critério em exercícios.
Aqui, vou calcular para cada linha i o valor |a_{ii}| e o somatório S_i=\sum_{j\ne i}|a_{ij}| e comparar.
Passo 3
Preparando os cálculos: para a matriz A escrita acima, as entradas que precisamos analisar linha a linha são:
Linha 1: a_{11}=1,\;a_{12}=0,\;a_{13}=-1.
Linha 2: a_{21}=-0,5,\;a_{22}=1,\;a_{23}=-0,25.
Linha 3: a_{31}=1,\;a_{32}=-0,5,\;a_{33}=1.
Vou calcular |a_{ii}| e S_i=\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para i=1,2,3.
Passo 4
Linha 1:
|a_{11}|=|1|=1.
S_1=|a_{12}|+|a_{13}|=|0|+|-1|=0+1=1.
Comparação: |a_{11}|=1 e S_1=1. Portanto nesta linha a desigualdade estrita não vale, temos igualdade:
Comparação: |a_{22}|=1>0,75=S_2. Portanto a linha 2 é estritamente diagonalmente dominante.
Passo 6
Linha 3:
|a_{33}|=|1|=1.
S_3=|a_{31}|+|a_{32}|=|1|+|-0,5|=1+0,5=1,5.
Comparação: |a_{33}|=1 < 1,5=S_3. Ou seja, a linha 3 NÃO satisfaz nem a dominância fraca (\ge); aqui a desigualdade é violada.
Passo 7
Interpretação final dos resultados (rápido e amigável): para verificar o critério de linhas precisamos que todas as linhas satisfaçam a desigualdade (pelo menos |a_{ii}|\ge S_i para dominância fraca, ou > para a estrita). Aqui:
linha 1: igualdade (|a_{11}|=S_1),
linha 2: estrita (|a_{22}|>S_2),
linha 3: falha (|a_{33}|<S_3).
Como a linha 3 viola a condição, a matriz não é diagonalmente dominante por linhas na ordem dada. Logo o sistema NÃO satisfaz o critério de linhas.
Força aí — deu trabalho, mas a conclusão é clara e simples de checar na prova: calcular os valores absolutos linha a linha e comparar.
Resposta
Não. O sistema não satisfaz o critério de linhas (a linha 3 viola a desigualdade: |a_{33}|=1<1,5=|a_{31}|+|a_{32}|).