(2,0) Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{cl} x_{1}+3 x_{2} & +2 x_{4}=1 \\\\ 3 x_{1}+9 x_{2} & +6 x_{4}=3 \\\\ 4 x_{1}+12 x_{2} & +8 x_{4}=4 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}+x_{3} & +5 x_{4}=4 \end{array}\right.
a) Encontre a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada do sistema linear;
b) Use a matriz obtida no item (a) para apresentar uma descrição paramétrica do conjuntosolução do sistema linear.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e quatro equações:
\left\{\begin{array}{rcl} x_{1}+3x_{2}+0x_{3}+2x_{4} &=& 1,\\[4pt] 3x_{1}+9x_{2}+0x_{3}+6x_{4} &=& 3,\\[4pt] 4x_{1}+12x_{2}+0x_{3}+8x_{4} &=& 4,\\[4pt] 2x_{1}+6x_{2}+x_{3}+5x_{4} &=& 4. \end{array}\right.
O que o exercício pede:
a) Encontrar a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) da matriz aumentada correspondente ao sistema.
b) Usar essa matriz obtida para fornecer uma descrição paramétrica do conjunto solução do sistema.
Informações relevantes dadas (listadas para não me perder depois):
  • As equações estão todas escritas; a matriz aumentada será a matriz de coeficientes com a coluna dos termos independentes.
  • Temos quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e, portanto, a matriz aumentada terá 4 colunas de coeficientes mais uma coluna de termos constantes.]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema. Essa matriz coloca os coeficientes das incógnitas em colunas e a coluna da direita é o vetor dos termos constantes. Escrevo a matriz usando um colchete com uma linha vertical separando coeficientes e constantes:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 3 & 9 & 0 & 6 & 3\\[4pt] 4 & 12 & 0 & 8 & 4\\[4pt] 2 & 6 & 1 & 5 & 4 \end{array}\right].
Explicando rapidamente (para eu me lembrar na prova): cada linha corresponde a uma equação; por exemplo a primeira linha representa x_{1}+3x_{2}+0x_{3}+2x_{4}=1.]

Passo 3

Vou aplicar operações elementares por linhas para chegar à forma escalonada reduzida. Lembrete rápido: operações elementares válidas são
  1. trocar duas linhas ( R_i \leftrightarrow R_j),
  2. multiplicar uma linha por escalar não nulo ( kR_i),
  3. somar a uma linha um múltiplo de outra ( R_i \leftarrow R_i + kR_j).
    Essas operações mantêm o conjunto solução do sistema.
Começo usando a primeira linha como pivô e zerei as entradas abaixo dela na coluna x_{1}. Faço:
R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1},\qquad R_{4}\leftarrow R_{4}-2R_{1}.
Calculo cada linha nova:
  • R_{2}-3R_{1}: (3,9,0,6 \mid 3) - 3(1,3,0,2\mid1) = (0,0,0,0\mid0).
  • R_{3}-4R_{1}: (4,12,0,8\mid4) - 4(1,3,0,2\mid1) = (0,0,0,0\mid0).
  • R_{4}-2R_{1}: (2,6,1,5\mid4) - 2(1,3,0,2\mid1) = (0,0,1,1\mid2).
A matriz fica então:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 4

Para obter uma forma escalonada mais bonita (pivôs subindo), troco a linha 2 com a linha 4 (ou seja, R_{2}\leftrightarrow R_{4}). Isso traz a linha com um pivô na coluna x_{3} para cima:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora vejo os pivôs (entradas líderes) das linhas não nulas:
  • Na linha 1 o pivô é 1 na coluna x_{1}.
  • Na linha 2 o pivô é 1 na coluna x_{3}.
Verifico as condições de forma escalonada reduzida por linhas (RREF):
  • Cada pivô é 1 (sim).
  • Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna (as colunas x_{1} e x_{3} têm zeros em todas as outras linhas — sim).
  • As linhas nulas estão abaixo das linhas não nulas (sim).
  • Cada pivô está mais à direita do que o pivô da linha acima (coluna 1 depois coluna 3).
Portanto a matriz já está em RREF. Escrevo-a de forma final:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora interpreto essa matriz escalonada reduzida para escrever a solução do sistema. Cada linha não nula dá uma equação linear simples:
  • A linha 1 dá \;x_{1}+3x_{2}+2x_{4}=1.
  • A linha 2 dá \;x_{3}+x_{4}=2.
As colunas que têm pivôs são as colunas de x_{1} e x_{3}; portanto x_{1} e x_{3} são variáveis básicas (determinas pela solução). As colunas sem pivô são as de x_{2} e x_{4}; portanto x_{2} e x_{4} são variáveis livres (podem ser parâmetros).

Passo 7

Para descrever a solução, escolho parâmetros para as variáveis livres. Seja
\;x_{2}=s e \;x_{4}=t, com s,t\in\mathbb{R}.
Das equações obtidas:
  • De \;x_{3}+x_{4}=2 segue \;x_{3}=2-x_{4}=2-t.
  • De \;x_{1}+3x_{2}+2x_{4}=1 segue \;x_{1}=1-3x_{2}-2x_{4}=1-3s-2t.
Assim a solução em forma paramétrica fica:
\begin{cases} x_{1}=1-3s-2t,\\[4pt] x_{2}=s,\\[4pt] x_{3}=2-t,\\[4pt] x_{4}=t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Também posso escrever em forma vetorial (que ajuda a ver a estrutura afim):
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(1,0,2,0)+s(-3,1,0,0)+t(-2,0,-1,1),\quad s,t\in\mathbb{R}.]

Resposta

a)
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
b)
\begin{cases} x_{1}=1-3s-2t,\\[4pt] x_{2}=s,\\[4pt] x_{3}=2-t,\\[4pt] x_{4}=t, \end{cases}\quad s,t\in\mathbb{R}.]

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