(2,0) Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 2 & 4 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 3 & -1 \\\\ 3 & 6 & 0 & -2 \end{array}\right]
a) Encontre a matriz inversa de A;
b) Sabe-se que X \in M_{4 \times 4} é tal que A X=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]. Determine a matrix X.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar a matriz inversa de A, isto é, calcular A^{-1}.
  2. (b) Dada uma matriz X\in M_{4\times4} tal que
A X= \left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right],
determinar a matriz X.
Informações dadas (vou reescrever as matrizes que temos):
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 2 & 4 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 3 & -1 \\\\ 3 & 6 & 0 & -2 \end{array}\right], \qquad B:=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
A tarefa (a) é encontrar A^{-1}. A tarefa (b) usa a informação A X = B para achar X.

Passo 2

Vou ensinar e aplicar o método padrão para obter a inversa: usar eliminação de Gauss com a matriz aumentada [A \mid I]. A ideia é aplicar operações elementares por linhas para transformar o bloco da esquerda em I; as mesmas operações aplicadas ao bloco da direita transformarão I em A^{-1}.
Começo montando a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 4 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 6 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Explico as operações permitidas: podemos (i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por escalar não nulo, (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. O objetivo é obter a identidade à esquerda.

Passo 3

Usamos a primeira linha como pivô para zerar abaixo na coluna 1.
Operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1.
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora precisamos de um pivô na coluna 2; a linha 2 tem zero na coluna 2, mas a linha 3 tem 1. Troco R_2 e R_3:
Operação:
R_2 \leftrightarrow R_3.
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Com pivô 1 em R_2 (coluna 2), zeramos as entradas na coluna 2 das demais linhas.
Operação:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & -6 & -1 & 3 & 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
(As outras linhas já tinham zero na coluna 2.)

Passo 6

Agora tomo o pivô na coluna 3 (linha 3 já tem 1). Usamos esse pivô para zerar as entradas na coluna 3 das outras linhas.
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 + 6R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3.
Calculando e aplicando, obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 23 & -9 & 6 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -12 & 5 & -3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Vou explicar rapidamente as contas de uma linha: por exemplo, para R_1 na parte aumentada, -9 = 3 + 6\cdot(-2) etc.; eu apliquei os mesmos múltiplos nas colunas da direita.

Passo 7

Finalmente, o pivô da coluna 4 está em R_4 (já é 1). Zeramos as entradas da coluna 4 nas linhas 1, 2 e 3.
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 - 23R_4,\qquad R_2 \leftarrow R_2 + 12R_4,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 4R_4.
Aplicando, obtemos a forma reduzida com a identidade à esquerda:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 60 & 6 & -2 & -23\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -31 & -3 & 1 & 12\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 1 & 0 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 8

Quando chegamos à forma [I \mid M], a parte M é a inversa de A. Portanto
A^{-1}= \left[\begin{array}{cccc} 60 & 6 & -2 & -23\\\\ -31 & -3 & 1 & 12\\\\ 10 & 1 & 0 & -4\\\\ -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Dou uma checada rápida (sanity check): multiplicando A por cada coluna de A^{-1} obtém-se as colunas da identidade — por exemplo já verifiquei anteriormente a última coluna e a primeira; está consistente.

Passo 9

Agora resolvemos a parte (b). Temos A X = B. Se A é invertível, multiplicamos à esquerda por A^{-1} e obtemos
X = A^{-1} B.
Uma observação prática: multiplicar A^{-1} por B equivale a aplicar A^{-1} a cada coluna de B. As colunas de B são (lidas da matriz B):
\text{col}_1(B)=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix},\quad \text{col}_2(B)=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix},\quad \text{col}_3(B)=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix},\quad \text{col}_4(B)=\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.
Portanto as colunas de X são A^{-1} vezes essas colunas — ou, de forma ainda mais simples, são colunas específicas de A^{-1} (pois multiplicar por vetores canônicos pega colunas).

Passo 10

Calculo coluna a coluna:
  • X coluna 1 = A^{-1}\cdot\text{col}_1(B) = a 3ª coluna de A^{-1}, porque \text{col}_1(B) é o vetor com 1 na 3ª posição. Assim
\text{col}_1(X)=\begin{bmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.
  • X coluna 2 = A^{-1}\cdot\text{col}_2(B) = a 1ª coluna de A^{-1}:
\text{col}_2(X)=\begin{bmatrix}60\\\ -31\\\ 10\\\ -3\end{bmatrix}.
  • X coluna 3 = A^{-1}\cdot\text{col}_3(B) = a 4ª coluna de A^{-1}:
\text{col}_3(X)=\begin{bmatrix}-23\\\ 12\\\ -4\\\ 1\end{bmatrix}.
  • X coluna 4 = A^{-1}\cdot\text{col}_4(B) = a 2ª coluna de A^{-1}:
\text{col}_4(X)=\begin{bmatrix}6\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}.
Juntando as colunas obtemos
X= \left[\begin{array}{cccc} -2 & 60 & -23 & 6\\\\ 1 & -31 & 12 & -3\\\\ 0 & 10 & -4 & 1\\\\ 0 & -3 & 1 & 0 \end{array}\right].

Resposta

a) A^{-1}= \left[\begin{array}{cccc} 60 & 6 & -2 & -23\\\\ -31 & -3 & 1 & 12\\\\ 10 & 1 & 0 & -4\\\\ -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
b) X= \left[\begin{array}{cccc} -2 & 60 & -23 & 6\\\\ 1 & -31 & 12 & -3\\\\ 0 & 10 & -4 & 1\\\\ 0 & -3 & 1 & 0 \end{array}\right]

Exercícios relacionados