a) Encontre a matriz inversa de A;
b) Sabe-se que X \in M_{4 \times 4} é tal que A X=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]. Determine a matrix X.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar a matriz inversa de A, isto é, calcular A^{-1}.
A tarefa (a) é encontrar A^{-1}. A tarefa (b) usa a informação A X = B para achar X.
Passo 2
Vou ensinar e aplicar o método padrão para obter a inversa: usar eliminação de Gauss com a matriz aumentada [A \mid I]. A ideia é aplicar operações elementares por linhas para transformar o bloco da esquerda em I; as mesmas operações aplicadas ao bloco da direita transformarão I em A^{-1}.
Explico as operações permitidas: podemos (i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por escalar não nulo, (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. O objetivo é obter a identidade à esquerda.
Passo 3
Usamos a primeira linha como pivô para zerar abaixo na coluna 1.
Vou explicar rapidamente as contas de uma linha: por exemplo, para R_1 na parte aumentada, -9 = 3 + 6\cdot(-2) etc.; eu apliquei os mesmos múltiplos nas colunas da direita.
Passo 7
Finalmente, o pivô da coluna 4 está em R_4 (já é 1). Zeramos as entradas da coluna 4 nas linhas 1, 2 e 3.
Dou uma checada rápida (sanity check): multiplicando A por cada coluna de A^{-1} obtém-se as colunas da identidade — por exemplo já verifiquei anteriormente a última coluna e a primeira; está consistente.
Passo 9
Agora resolvemos a parte (b). Temos A X = B. Se A é invertível, multiplicamos à esquerda por A^{-1} e obtemos
X = A^{-1} B.
Uma observação prática: multiplicar A^{-1} por B equivale a aplicar A^{-1} a cada coluna de B. As colunas de B são (lidas da matriz B):
Portanto as colunas de X são A^{-1} vezes essas colunas — ou, de forma ainda mais simples, são colunas específicas de A^{-1} (pois multiplicar por vetores canônicos pega colunas).
Passo 10
Calculo coluna a coluna:
X coluna 1 = A^{-1}\cdot\text{col}_1(B) = a 3ª coluna de A^{-1}, porque \text{col}_1(B) é o vetor com 1 na 3ª posição. Assim