(3,0) Um sistema linear possui matriz aumentada
\left[\begin{array}{cccc:c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & a^{2}-5 a+6 & a^{2}-3 a+2 \end{array}\right] .
Determine para quais valores de a o sistema acima:
a) Não possui solução;
b) Possui uma única solução;
c) Possui infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear:
\left[\begin{array}{cccc:c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & a^{2}-5 a+6 & a^{2}-3 a+2 \end{array}\right]
Perguntas explícitas:
a) Para quais a o sistema não possui solução?
b) Para quais a o sistema possui uma única solução?
c) Para quais a o sistema possui infinitas soluções?
Dados relevantes que extraí da matriz (lembre-se: cada linha representa uma equação):
  • Da primeira linha: x_{1}=0.
  • Da segunda linha: x_{2}=2.
  • Da terceira linha: x_{3}-3x_{4}=7.
  • Da quarta linha: (a^{2}-5a+6)\,x_{4}=a^{2}-3a+2.
    Observação: a quarta linha contém o único lugar onde aparece a; tudo o mais é fixo.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que vamos usar, sem formalismo pesado):
  • Em sistemas lineares escritos em forma escalonada, o número de pivôs (linhas não-nulas com um coeficiente principal) no sistema de coeficientes determina o posto (rank) da matriz de coeficientes.
  • Se a equação final for do tipo 0\cdot x_{4}=c com c\neq 0, o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
  • Se a equação final tiver coeficiente diferente de zero em x_{4}, então temos pivô nessa coluna e, como já existem pivôs nas colunas de x_{1},x_{2},x_{3}, teremos pivôs em todas as 4 colunas (4 variáveis) e, portanto, solução única.
  • Se o coeficiente na quarta linha for zero e o segundo membro também for zero, a linha é 0=0 (linha nula): o posto cai e sobra ao menos uma variável livre (aqui x_{4}), então haverá infinitas soluções.
    Resumo prático: só precisamos analisar a quarta linha, mais precisamente os valores de
a^{2}-5a+6\quad\text{e}\quad a^{2}-3a+2.

Passo 3

Fato útil: fatoramos as quadráticas (isso facilita muito).
  • a^{2}-5a+6=(a-2)(a-3).
  • a^{2}-3a+2=(a-1)(a-2).
    Essas fatorações mostram imediatamente quando cada expressão é zero:
  • a^{2}-5a+6=0 se, e somente se, a=2 ou a=3.
  • a^{2}-3a+2=0 se, e somente se, a=1 ou a=2.

Passo 4

Caso 1: a\neq 2 e a\neq 3.
Então a^{2}-5a+6\neq 0, ou seja, o coeficiente de x_{4} na quarta linha é não nulo. Isso significa que há pivô em todas as quatro colunas de variáveis ( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}). Consequência: o sistema é compatível determinado — tem exatamente uma solução. Podemos até escrever essa solução explicitamente (útil para a prova): da quarta linha,
x_{4}=\frac{a^{2}-3a+2}{a^{2}-5a+6}.
Usando as fatorações e cancelando o fator (a-2) (válido porque a\neq 2), obtemos
x_{4}=\frac{(a-1)(a-2)}{(a-2)(a-3)}=\frac{a-1}{a-3}.
Em seguida,
x_{3}=7+3x_{4}=7+3\cdot\frac{a-1}{a-3},\qquad x_{2}=2,\qquad x_{1}=0.
Mas o ponto importante para a questão (b) é: para todo a com a\neq 2,3 temos solução única.

Passo 5

Caso 2: a=2.
Substituindo a=2 nas expressões fatoradas:
a^{2}-5a+6=(2-2)(2-3)=0,\qquad a^{2}-3a+2=(2-1)(2-2)=0.
Logo a quarta linha vira 0\cdot x_{4}=0, ou seja, uma linha nula. Isso implica que o posto da matriz de coeficientes é 3 (pivôs em x_{1},x_{2},x_{3}) e o posto da matriz aumentada também é 3, portanto o sistema é compatível. Como temos 4 variáveis e apenas 3 pivôs, sobra uma variável livre (podemos escolher x_{4}=t livre). Assim existem infinitas soluções. Podemos parametrizar:
x_{4}=t\quad(\text{qualquer }t\in\mathbb{R}),\qquad x_{3}=7+3t,\qquad x_{2}=2,\qquad x_{1}=0.

Passo 6

Caso 3: a=3.
Substituindo a=3:
a^{2}-5a+6=(3-2)(3-3)=0,\qquad a^{2}-3a+2=(3-1)(3-2)=2\neq 0.
A quarta linha fica 0\cdot x_{4}=2, que é uma contradição (equação impossível). Portanto o sistema é inconsistente e não possui solução.

Passo 7

Resumo lógico (repetindo e conectando com as perguntas):
  • Se a=3 a última linha dá 0=2 → nenhum x satisfaz → sistema sem solução.
  • Se a=2 a última linha dá 0=0 → linha nula → variável livre x_{4} → infinitas soluções.
  • Se a\neq 2,3 a última linha tem coeficiente não nulo em x_{4} → pivô em todas as variáveis → solução única.

Resposta

a) a=3
b) a\neq 2,3
c) a=2

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