Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z=d_{1} \a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z=d_{2} \a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z=d_{3}\end{array}\right.
de três equações e três incógnitas que representam três planos no espaço x y z. Descreva em cada um dos seguintes casos o conjunto-solução do sistema.
Os três planos são paralelos e distintos.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações em três incógnitas
\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1},\\\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2},\\\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3}, \end{cases}
cuja interpretação geométrica é que cada equação representa um plano no espaço (x,y,z). O que queremos é descrever o conjunto-solução quando os três planos são paralelos e distintos.

Passo 2

Para três planos serem paralelos, os vetores normais a cada um devem ser proporcionais. Ou seja, existem escalares \lambda e \mu tais que
(a_{2},b_{2},c_{2}) = \lambda\,(a_{1},b_{1},c_{1}) \quad\text{e}\quad (a_{3},b_{3},c_{3}) = \mu\,(a_{1},b_{1},c_{1}).
Porém, como são distintos, não há escolha de (x,y,z) que satisfaça todas as três equações simultaneamente; os termos independentes não seguem a mesma proporcionalidade:
d_{2} \neq \lambda\,d_{1} \quad\text{ou}\quad d_{3} \neq \mu\,d_{1}.

Passo 3

Quando três planos paralelos são distintos, eles não possuem ponto em comum. Logo, não existe solução que satisfaça as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

O conjunto-solução é o conjunto vazio, isto é, \emptyset.

Exercícios relacionados