Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z=d_{1} \a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z=d_{2} \a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z=d_{3}\end{array}\right.
de três equações e três incógnitas que representam três planos no espaço x y z. Descreva em cada um dos seguintes casos o conjunto-solução do sistema.
P_{1} e P_{2} são coincidentes e paralelos a P_{3}.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de três equações lineares em (x,y,z), cada uma definindo um plano P_{1},P_{2},P_{3} em \mathbb{R}^3. Pede-se o conjunto-solução quando P_{1} e P_{2} são coincidentes (mesmo plano) e esse plano é paralelo a P_{3}. Para resolver, usamos a interpretação geométrica: a solução de um sistema é a interseção dos planos correspondentes.

Passo 2

Como P_{1} e P_{2} são coincidentes, todo ponto que satisfaz a equação de P_{1} satisfaz também a de P_{2}. Logo, as duas primeiras equações não impõem restrição adicional além de definir um único plano P. Consequentemente, o sistema formado por P_{1} e P_{2} tem infinitas soluções, dado por
P = P_{1} = P_{2}\,.

Passo 3

O plano P_{3} é paralelo a P e não coincide com ele (paralelismo distinto). Dois planos paralelos e distintos em \mathbb{R}^3 não se intersectam. Portanto,
P \cap P_{3} = \varnothing\,.

Resposta

O conjunto-solução é o conjunto vazio, ou seja, \varnothing.

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