Considere o sistema linear
de três equações e três incógnitas que representam três planos no espaço
. Descreva em cada um dos seguintes casos o conjunto-solução do sistema.
Os três planos são coincidentes:
.
Os três planos são coincidentes:
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de três equações em três incógnitas que, geometricamente, representam três planos
em
. Aqui estamos no caso em que
, ou seja, todos os planos coincidem. O conteúdo usado é a interpretação geométrica de sistemas lineares e a relação entre posto da matriz e número de soluções.
Passo 2
Se os três planos coincidem, então cada equação é proporcional às outras duas. Isso significa que a matriz de coeficientes tem posto
e há incógnitas, restando
graus de liberdade. Portanto o sistema possui infinitas soluções.
e há
Passo 3
O conjunto de soluções é exatamente o próprio plano comum, que pode ser descrito pela única equação independente. Assim
Resposta
O conjunto-solução é o plano
isto é, todos os pontos do plano coincidente.