Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z=d_{1} \a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z=d_{2} \a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z=d_{3}\end{array}\right.
de três equações e três incógnitas que representam três planos no espaço x y z. Descreva em cada um dos seguintes casos o conjunto-solução do sistema.
Os três planos são coincidentes: P_{1}=P_{2}=P_{3}.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações em três incógnitas que, geometricamente, representam três planos P_{1},P_{2},P_{3} em \mathbb{R}^{3}. Aqui estamos no caso em que
P_{1}=P_{2}=P_{3}, ou seja, todos os planos coincidem. O conteúdo usado é a interpretação geométrica de sistemas lineares e a relação entre posto da matriz e número de soluções.

Passo 2

Se os três planos coincidem, então cada equação é proporcional às outras duas. Isso significa que a matriz de coeficientes tem posto
\rank=1
e há 3 incógnitas, restando 3 - 1 = 2 graus de liberdade. Portanto o sistema possui infinitas soluções.

Passo 3

O conjunto de soluções é exatamente o próprio plano comum, que pode ser descrito pela única equação independente. Assim
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}\}.

Resposta

O conjunto-solução é o plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}\},
isto é, todos os pontos do plano coincidente.

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