Considere o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} x+y=2 \\\ m x+y=3 \end{array}\right.
Classifique o sistema de acordo com os valores de m.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, com parâmetro m, e pede para classificar o sistema em função de m. O conteúdo usado será teoria de sistemas lineares 2\times2: cálculo do determinante da matriz de coeficientes e análise de compatibilidade.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1\\\ m & 1 \end{vmatrix} =1\cdot1 - m\cdot1 =1 - m.

Passo 3

Se \Delta \neq 0, ou seja, se 1-m\neq0 (isto é, m\neq1), então o sistema é compatível determinado. Pela regra de Cramer, há solução única:
x = \frac{2\cdot1 - 1\cdot3}{\Delta} = \frac{2-3}{1-m} = \frac{-1}{1-m} = \frac{1}{m-1},
y = 2 - x = 2 - \frac{1}{m-1}.

Passo 4

Se \Delta=0, isto é, m=1, as duas equações têm coeficientes proporcionais ( 1:1 = 1:1). Para verificar compatibilidade, comparamos as constantes: no primeiro temos x+y=2 e no segundo x+y=3. As retas são paralelas e distintas, logo não há solução.

Resposta

Para m\neq1: sistema compatível determinado (única solução x=\tfrac{1}{m-1}, y=2-\tfrac{1}{m-1}).
Para m=1: sistema incompatível (sem solução).

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