Considere o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} x+m y=2 \\\ n x+2 y=3 \end{array}\right.
Determine os valores de m e n para que o sistema seja possível e determinado (SPD).

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de duas equações e duas incógnitas x,y\): \[\begin{cases} x + m\,y = 2,\\\ n\,x + 2\,y = 3. \end{cases}
Queremos que ele seja possível e determinado (SPD), ou seja, tenha exatamente uma solução. O critério para um sistema (2\times2] ser SPD é que o determinante da matriz de coeficientes seja diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & m\\\ n & 2 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante
\det(A) = 1\cdot 2 \;-\; m\cdot n \;=\; 2 \;-\; m\,n.

Passo 3

Para que o sistema seja SPD, precisamos de
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2 - m\,n \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m\,n \neq 2.

Resposta

O sistema é possível e determinado se, e somente se,
m\,n \neq 2.

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