Considere o Sistema Linear
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\\ x+2 y-z=4 \\\ x+y+a z=b \end{array}\right.
Determine os valores de a e b para os quais o Sistema Linear:
(a) Possui nenhuma solução.
(b) Possui apenas uma solução.
(c) Possui um número infinito de soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três incógnitas x,y,z e parâmetros a,b:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1,\\\ x+2y-z=4,\\\ x+y+az=b. \end{array}\right.
O conteúdo envolve classificação de sistemas lineares usando determinante da matriz de coeficientes e análise de consistência.

Passo 2

Vamos montar a matriz de coeficientes A e calcular seu determinante:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}.
Expandindo, obtemos
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & a\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & a\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =a-1.

Passo 3

Se \det(A)\neq 0, isto é, a\neq 1, o sistema tem posto completo e, portanto, exatamente uma solução, para todo valor de b.

Passo 4

Se a=1, então \det(A)=0 e as equações 1 e 3 passam a ser
x+y+z=1, \quad x+y+z=b.
– Se b=1, a terceira equação coincide com a primeira, restando duas equações independentes para três incógnitas; assim, há infinitas soluções.
– Se b\neq 1, as duas equações x+y+z=1 e x+y+z=b são contraditórias; logo, o sistema não tem solução.

Resposta

(a) a=1 e b\neq 1.
(b) a\neq 1 (qualquer b).
(c) a=1 e b=1.

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