Resolva os sistemas abaixo. Possui solução? A solução é única? Possui infinitas soluções?
\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2 z=6, \\\\ 3 x+2 y-2 z=-2, \\\\ 3 x-5 z=-9\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema
\begin{cases} x + 2y - 2z = 6,\\\\ 3x + 2y - 2z = -2,\\\\ 3x - 5z = -9 \end{cases}
Queremos encontrar suas soluções e verificar se elas são únicas ou infinitas. O conteúdo é resolução de sistemas lineares pelo método de eliminação.

Passo 2

Para eliminar y e z entre as duas primeiras equações, calculamos a diferença da segunda pela primeira:
(3x+2y-2z)\;-\;(x+2y-2z)\;=\;-2 - 6
2x = -8 \quad\implies\quad x = -4.

Passo 3

Substituindo \,x=-4 na terceira equação 3x - 5z = -9, obtemos
3(-4) - 5z = -9 \;\implies\; -12 - 5z = -9 \;\implies\; -5z = 3 \;\implies\; z = -\tfrac{3}{5}.

Passo 4

Finalmente, substituímos x=-4 e z=-\tfrac{3}{5} na primeira equação x + 2y - 2z = 6:
-4 + 2y - 2\Bigl(-\tfrac{3}{5}\Bigr) = 6 \;\implies\; -4 + 2y + \tfrac{6}{5} = 6 \;\implies\; 2y = 6 + 4 - \tfrac{6}{5} = \tfrac{44}{5} \;\implies\; y = \tfrac{22}{5}.

Passo 5

Encontramos um único triplo (x,y,z) que satisfaz todas as três equações e não houve inconsistência nem grau de liberdade: portanto, o sistema possui solução única.

Resposta

O sistema possui solução única
\bigl(x,y,z\bigr) = \Bigl(-4,\tfrac{22}{5},-\tfrac{3}{5}\Bigr).

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