Resolva os sistemas abaixo. Possui solução? A solução é única? Possui infinitas soluções?
\left\{\begin{array}{l}x-y+2 z=4, \\\\ 3 x+y+4 z=6, \\\ x+y+z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x - y + 2z = 4,\\\\ 3x + y + 4z = 6,\\\ x + y + z = 1, \end{cases}
verificar se ele admite solução, se a solução é única ou se há infinitas soluções. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares e vamos usar eliminação de Gauss e cálculo de determinante para investigar existência e unicidade.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 3 & 1 & 4\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante para verificar se o sistema é singular ou não.
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&4\\\ 1&1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 1&1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}1&4\\\ 1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-4\cdot1=-3, \quad \det\begin{pmatrix}3&4\\\ 1&1\end{pmatrix}=3\cdot1-4\cdot1=-1, \quad \det\begin{pmatrix}3&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=3\cdot1-1\cdot1=2.
Logo
\det(A)=1\cdot(-3) -(-1)\cdot(-1) +2\cdot2 = -3-1+4=0.
Como \det(A)=0, a matriz é singular e o sistema não tem solução única — ou não tem solução ou tem infinitas soluções.

Passo 3

Para decidir entre “sem solução” e “infinitas soluções” fazemos eliminação de Gauss. Somando a primeira e a segunda equação obtemos
(x - y + 2z) + (3x + y + 4z) = 4 + 6 \;\Longrightarrow\; 4x + 6z = 10 \; \Longrightarrow\; 2x + 3z = 5.
Subtraindo a terceira equação da segunda também dá
(3x + y + 4z) - (x + y + z) = 6 - 1 \; \Longrightarrow\; 2x + 3z = 5.
As duas operações geraram a mesma relação, sem contradição, ou seja, as três equações não são independentes e não aparece nenhum “ 0 = \text{constante} \neq 0”. Portanto o sistema é consistente e tem infinitas soluções.

Passo 4

Para parametrizar, escolhemos z=t como parâmetro livre. Da relação
2x+3z=5
vem
2x+3t=5 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5-3t}{2}.
Usando a terceira equação
x+y+z=1
substituindo x e z,
\frac{5-3t}{2}+y+t=1 \;\Longrightarrow\; y=1 - t - \frac{5-3t}{2} = -\frac{3}{2}+\frac{t}{2} =\frac{t-3}{2}.

Resposta

A solução geral é
\bigl(x,y,z\bigr) =\Bigl(\frac{5-3t}{2},\,\frac{t-3}{2},\,t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.
O sistema é consistente, não tem solução única e possui infinitas soluções.

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