Considere o sistema linear \left(\begin{array}{lll}4 & 3 & 2 \\\\ 1 & 5 & 0 \\\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right) \mathbf{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\\\ 9 \\\\ 4\end{array}\right).
(a) É possível garantir a convergência do método de Jacobi para esse sistema?
(b) Aplique o método de Jacobi, a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(1,1,1)^{T}. Calcule o resíduo na norma infinito em cada iteração, ou seja \|A \mathbf{x}-\mathbf{b}\|_{\infty}. O que você observou? Qual poderia ser uma explicação plausível para o comportamento observado?
e pede:
(a) verificar se há garantia de convergência do método de Jacobi;
(b) aplicar Jacobi a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(1,1,1)^T, calcular em cada iteração
\|A\,\mathbf{x}^{(k)} - \mathbf{b}\|_\infty,
observar o comportamento e dar uma explicação.
Passo 2
Para garantir convergência do método de Jacobi basta que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou que seja simétrica definida positiva, mas aqui A não é simétrica). A condição de dominância por linhas é
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|\quad\text{para toda linha }i.
Passo 3
Verificando linha a linha:
linha 1: |4| \stackrel{?}{>} |3|+|2| = 5\quad(4 < 5, falha),
linha 2: |5| > |1|+|0| = 1\quad(ok),
linha 3: |3| > |1|+|1| = 2\quad(ok).
Como a linha 1 não satisfaz a desigualdade, não há garantia teórica de convergência pelo critério de dominância.
Observação: o resíduo não decresce de forma estritamente monótona (por exemplo, sobe de r_3\approx0{,}2958 para r_4\approx0{,}3370), mas em módulo tende a zero com oscilações.
Explicação plausível: sem dominância estrita, a matriz de iteração de Jacobi tem autovalores próximos a 1 e coeficientes com sinais que induzem overshoot em algumas iterações, gerando oscilações no resíduo mesmo que, em última instância, ele vá diminuindo.
Resposta
(a) Não, pois A não é estritamente diagonalmente dominante por linhas.
(b) Os resíduos \{r_k\} calculados foram aproximadamente
nota-se que há oscilações na diminuição do resíduo. Isso ocorre porque a falta de dominância estrita faz o raio espectral da matriz de iteração ficar próximo de 1, provocando convergência lenta e não monotônica.