Considere o sistema linear \left(\begin{array}{lll}4 & 3 & 2 \\\\ 1 & 5 & 0 \\\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right) \mathbf{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\\\ 9 \\\\ 4\end{array}\right).
(a) É possível garantir a convergência do método de Jacobi para esse sistema?
(b) Aplique o método de Jacobi, a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(1,1,1)^{T}. Calcule o resíduo na norma infinito em cada iteração, ou seja \|A \mathbf{x}-\mathbf{b}\|_{\infty}. O que você observou? Qual poderia ser uma explicação plausível para o comportamento observado?

Passo 1

O enunciado dá o sistema
A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2\\\\ 1 & 5 & 0\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\\ 9\\\ 4\end{pmatrix},
e pede:
(a) verificar se há garantia de convergência do método de Jacobi;
(b) aplicar Jacobi a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(1,1,1)^T, calcular em cada iteração
\|A\,\mathbf{x}^{(k)} - \mathbf{b}\|_\infty,
observar o comportamento e dar uma explicação.

Passo 2

Para garantir convergência do método de Jacobi basta que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou que seja simétrica definida positiva, mas aqui A não é simétrica). A condição de dominância por linhas é
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|\quad\text{para toda linha }i.

Passo 3

Verificando linha a linha:
linha 1: |4| \stackrel{?}{>} |3|+|2| = 5\quad( 4 < 5, falha),
linha 2: |5| > |1|+|0| = 1\quad(ok),
linha 3: |3| > |1|+|1| = 2\quad(ok).
Como a linha 1 não satisfaz a desigualdade, não há garantia teórica de convergência pelo critério de dominância.

Passo 4

A iteração de Jacobi é
x_1^{(k+1)} = \frac{1}{4}\bigl(4 - 3\,x_2^{(k)} - 2\,x_3^{(k)}\bigr),\quad x_2^{(k+1)} = \frac{1}{5}\bigl(9 - x_1^{(k)}\bigr),\quad x_3^{(k+1)} = \frac{1}{3}\bigl(4 - x_1^{(k)} - x_2^{(k)}\bigr).
Calculamos até k=5. Abaixo estão \mathbf{x}^{(k)} e o resíduo
r_k = \|A\,\mathbf{x}^{(k)} - \mathbf{b}\|_\infty:
\begin{array}{c|c|c} k & \mathbf{x}^{(k)} & r_k\\hline 0 & (1,\;1,\;1)^T & 5.0000\\\\ 1 & (-0.25,\;1.6,\;0.6667)^T & 1.2500\\\\ 2 & (-0.5333,\;1.8500,\;0.8833)^T & 1.1835\\\\ 3 & (-0.8292,\;1.9067,\;0.8944)^T & 0.2958\\\\ 4 & (-0.8772,\;1.9658,\;0.9742)^T & 0.3370\\\\ 5 & (-0.9615,\;1.9754,\;0.9705)^T & 0.0842 \end{array}
Observação: o resíduo não decresce de forma estritamente monótona (por exemplo, sobe de r_3\approx0{,}2958 para r_4\approx0{,}3370), mas em módulo tende a zero com oscilações.
Explicação plausível: sem dominância estrita, a matriz de iteração de Jacobi tem autovalores próximos a 1 e coeficientes com sinais que induzem overshoot em algumas iterações, gerando oscilações no resíduo mesmo que, em última instância, ele vá diminuindo.

Resposta

(a) Não, pois A não é estritamente diagonalmente dominante por linhas.
(b) Os resíduos \{r_k\} calculados foram aproximadamente
5{,}0000,\;1{,}2500,\;1{,}1835,\;0{,}2958,\;0{,}3370,\;0{,}0842,\dots
nota-se que há oscilações na diminuição do resíduo. Isso ocorre porque a falta de dominância estrita faz o raio espectral da matriz de iteração ficar próximo de 1, provocando convergência lenta e não monotônica.

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