Para cada sistema linear abaixo, explique se é possível (e como) aplicar o método Jacobi para aproximar a solução do sistema de maneira a ter garantia de convergência. \left(\begin{array}{ccc}2 & 5 & 8 \\\\ 6 & 3 & -1 \\\\ 3 & -2 & 6\end{array}\right) \mathrm{x}=\left(\begin{array}{l}7 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se podemos aplicar o método de Jacobi ao sistema
A x = b, \quad A = \begin{pmatrix}2 & 5 & 8 \\\\ 6 & 3 & -1 \\\\ 3 & -2 & 6\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}7 \\\\ 3 \\\\ 3\end{pmatrix},
de modo a ter garantia de convergência. O conteúdo envolvido é o método iterativo de Jacobi, que converge sempre que a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas ou for simétrica definida-positiva.
Passo 2
Para aplicar Jacobi, escrevemos A = D + (L+U), onde D é a diagonal de A e L+U são, respectivamente, as partes estritamente triangular inferior e superior. A iteração é
A convergência fica garantida se \rho(T_J)<1, o que se assegura, por exemplo, se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas ou SPD.
Passo 3
Testamos a dominância de A linha a linha:
Linha 1: \lvert a_{11}\rvert = 2 e \lvert a_{12}\rvert+\lvert a_{13}\rvert = 5+8=13, logo 2<13.
Linha 2: \lvert a_{22}\rvert = 3 e \lvert a_{21}\rvert+\lvert a_{23}\rvert = 6+1=7, logo 3<7.
Linha 3: \lvert a_{33}\rvert = 6 e \lvert a_{31}\rvert+\lvert a_{32}\rvert = 3+2=5, logo 6>5.
Concluímos que somente a terceira linha é estritamente dominante, mas as linhas 1 e 2 não o são. Portanto, Anão é estritamente diagonalmente dominante por linhas.
Passo 4
Verificamos simetria e positividade:
A não é simétrica (a_{12}=5\neq6=a_{21}), logo não pode ser SPD.
Como não satisfaz nenhuma das condições clássicas (dominância ou SPD), não temos garantia teórica de \rho(T_J)<1.
Resposta
Não é possível aplicar o método de Jacobi ao sistema original com garantia de convergência, pois A não é estritamente diagonalmente dominante nem simétrica definida-positiva.