Para cada sistema linear abaixo, explique se é possível (e como) aplicar o método Jacobi para aproximar a solução do sistema de maneira a ter garantia de convergência.
\left(\begin{array}{ccc}2 & 5 & 8 \\\\ 6 & 3 & -1 \\\\ 3 & -2 & 6\end{array}\right) \mathrm{x}=\left(\begin{array}{l}7 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se podemos aplicar o método de Jacobi ao sistema
A x = b, \quad A = \begin{pmatrix}2 & 5 & 8 \\\\ 6 & 3 & -1 \\\\ 3 & -2 & 6\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}7 \\\\ 3 \\\\ 3\end{pmatrix},
de modo a ter garantia de convergência. O conteúdo envolvido é o método iterativo de Jacobi, que converge sempre que a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas ou for simétrica definida-positiva.

Passo 2

Para aplicar Jacobi, escrevemos A = D + (L+U), onde D é a diagonal de A e L+U são, respectivamente, as partes estritamente triangular inferior e superior. A iteração é
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b - (L+U)x^{(k)}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x^{(k+1)} = T_J\,x^{(k)} + D^{-1}b,
com matriz de iteração
T_J = -\,D^{-1}(L+U).
A convergência fica garantida se \rho(T_J)<1, o que se assegura, por exemplo, se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas ou SPD.

Passo 3

Testamos a dominância de A linha a linha:
  • Linha 1: \lvert a_{11}\rvert = 2 e \lvert a_{12}\rvert+\lvert a_{13}\rvert = 5+8=13, logo 2<13.
  • Linha 2: \lvert a_{22}\rvert = 3 e \lvert a_{21}\rvert+\lvert a_{23}\rvert = 6+1=7, logo 3<7.
  • Linha 3: \lvert a_{33}\rvert = 6 e \lvert a_{31}\rvert+\lvert a_{32}\rvert = 3+2=5, logo 6>5.
    Concluímos que somente a terceira linha é estritamente dominante, mas as linhas 1 e 2 não o são. Portanto, A não é estritamente diagonalmente dominante por linhas.

Passo 4

Verificamos simetria e positividade:
  • A não é simétrica ( a_{12}=5\neq6=a_{21}), logo não pode ser SPD.
    Como não satisfaz nenhuma das condições clássicas (dominância ou SPD), não temos garantia teórica de \rho(T_J)<1.

Resposta

Não é possível aplicar o método de Jacobi ao sistema original com garantia de convergência, pois A não é estritamente diagonalmente dominante nem simétrica definida-positiva.

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