Para cada sistema linear abaixo, explique se é possível (e como) aplicar o método Jacobi para aproximar a solução do sistema de maneira a ter garantia de convergência. \left(\begin{array}{ccc}6 & -3 & 2 \\\\ 4 & 7 & 4 \\\\ 1 & 2 & -8\end{array}\right) \mathbf{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\\\ 4 \\\\ 6\end{array}\right)
e pede para verificar se o método de Jacobi pode ser aplicado com garantia de convergência. Vamos precisar do critério de convergência baseado na matriz de iteração de Jacobi e em normas subordinadas.
Passo 2
No método de Jacobi, escrevemos
A = D - (L+U),
onde D é a diagonal de A, L é a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior. A iteração é
Uma condição suficiente para convergência é \rho(B)<1, o que ocorre sempre que alguma norma subordinada de B for menor que 1.
Passo 3
Vamos testar a dominância diagonal por linhas (norma infinito). Calculamos para cada linha i
\sum_{j\neq i} \Bigl|\frac{a_{ij}}{a_{ii}}\Bigr|.
Para i=1: \frac{|{-3}|+|2|}{6} = \frac{5}{6}<1.
Para i=2: \frac{|4|+|4|}{7} = \frac{8}{7}>1.
Para i=3: \frac{|1|+|2|}{8} = \frac{3}{8}<1.
Como na linha 2 essa soma é maior que 1, a norma \|B\|_\infty>1 e o critério de dominância por linhas falha.
Passo 4
Agora testamos a dominância diagonal por colunas (norma 1). Para cada coluna j calculamos
\sum_{i\neq j} \Bigl|\frac{a_{ij}}{a_{jj}}\Bigr|.
Coluna 1 (j=1): \frac{|4|}{6}+\frac{|1|}{6} = \frac{5}{6}.
Coluna 2 (j=2): \frac{|{-3}|}{7}+\frac{|2|}{7} = \frac{5}{7}.
Coluna 3 (j=3): \frac{|2|}{8}+\frac{|4|}{8} = \frac{6}{8} = \tfrac{3}{4}.
O maior desses valores é \tfrac{5}{6}<1. Logo
\|B\|_1 < 1
e isso implica \rho(B)\le \|B\|_1<1.
Passo 5
Como existe uma norma subordinada de B menor que 1 (neste caso a norma 1), concluímos que \rho(B)<1 e, portanto, o método de Jacobi converge para a solução do sistema.
Resposta
O método de Jacobi pode ser aplicado com garantia de convergência, pois a matriz A é estritamente diagonal dominante por colunas, o que assegura \|D^{-1}(L+U)\|_1<1 e, consequentemente, \rho(D^{-1}(L+U))<1.