Considere o sistema linear .
(a) ( 0,5 ponto) Determine a matriz ampliada do sistema.
(b) (1,0 ponto) Escalone a matriz ampliada c mostre que, para quaisquer valores de bk 's, o sistema linear não possui solução única.
(c) (1,0 ponto) Determine valores de b1, b2 e b3 tais que o sistema não tenha solução.
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos com o sistema
2x - 4y - 2z = b1, -5x + y + z = b2, 7x - 5y -3z = b3
O conteúdo é escalonamento de sistemas lineares: (a) montar a matriz ampliada, (b) aplicar eliminação de Gauss e comentar a existência de solução única, (c) achar a condição de inconsistência.
Passo 2
A matriz ampliada é obtida juntando a matriz dos coeficientes com o vetor dos termos independentes:
As duas primeiras colunas pivotam, mas a terceira coluna de coeficientes não gera pivô, pois a terceira linha de coeficientes é toda zero.
Passo 5
Como a matriz de coeficientes tem posto 2 e há 3 incógnitas, nunca teremos solução única: ou há infinitas soluções (quando b2+b3-b1=0) ou não há solução (quando b2+b3-b1neq0).
Passo 6
A condição de inconsistência aparece na linha 0= b2+b3-b1. Logo o sistema não tem solução sempre que
b2 + b3 - b1 neq 0
Por exemplo, escolhendo b1=0, b2=0, b3=1 temos 0+1-0=1neq0 e o sistema fica sem solução.
(b) O posto da matriz de coeficientes é 2<3, logo não há solução única (há infinitas soluções ou nenhuma).
(c) O sistema não tem solução se e somente se