Considere o sistema linear lll2 x-4 y-2 z & =b1 -5 x+y+z & =b2 7 x-5 y-3 z & =b3.
(a) ( 0,5 ponto) Determine a matriz ampliada do sistema.
(b) (1,0 ponto) Escalone a matriz ampliada c mostre que, para quaisquer valores de bk 's, o sistema linear não possui solução única.
(c) (1,0 ponto) Determine valores de b1, b2 e b3 tais que o sistema não tenha solução.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com o sistema
2x - 4y - 2z = b1, -5x + y + z = b2, 7x - 5y -3z = b3
O conteúdo é escalonamento de sistemas lineares: (a) montar a matriz ampliada, (b) aplicar eliminação de Gauss e comentar a existência de solução única, (c) achar a condição de inconsistência.

Passo 2

A matriz ampliada é obtida juntando a matriz dos coeficientes com o vetor dos termos independentes:
(ccc|c 2 & -4 & -2 & b1 -5 & 1 & 1 & b2 7 & -5 & -3 & b3 )

Passo 3

Eliminamos x em R2 e R3 usando R2 R2 + tfrac52R1 e R3 R3 - tfrac72R1. A matriz vira
(ccc|c 2 & -4 & -2 & b1 0 & -9 & -4 & b2 + tfrac52b1 0 & 9 & 4 & b3 - tfrac72b1 )

Passo 4

Eliminamos y em R3 com R3 R3+R2. Então
(ccc|c 2 & -4 & -2 & b1 0 & -9 & -4 & b2 + tfrac52b1 0 & 0 & 0 & l(b2 + b3 - b1r) )
As duas primeiras colunas pivotam, mas a terceira coluna de coeficientes não gera pivô, pois a terceira linha de coeficientes é toda zero.

Passo 5

Como a matriz de coeficientes tem posto 2 e há 3 incógnitas, nunca teremos solução única: ou há infinitas soluções (quando b2+b3-b1=0) ou não há solução (quando b2+b3-b1neq0).

Passo 6

A condição de inconsistência aparece na linha 0= b2+b3-b1. Logo o sistema não tem solução sempre que
b2 + b3 - b1 neq 0
Por exemplo, escolhendo b1=0, b2=0, b3=1 temos 0+1-0=1neq0 e o sistema fica sem solução.

Resposta

(a)
(ccc|c 2 & -4 & -2 & b1 -5 & 1 & 1 & b2 7 & -5 & -3 & b3 )
(b) O posto da matriz de coeficientes é 2<3, logo não há solução única (há infinitas soluções ou nenhuma).
(c) O sistema não tem solução se e somente se
b2 + b3 - b1 neq 0
Por exemplo, (b1,b2,b3)=(0,0,1).

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