Seja A=[ccccc1 & 2 & 0 & -1 & 0 -1 & -2 & 2 & -3 & -2 1 & 2 & -1 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & -4 & 0] sim[ccccc1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0], b=[c0 -4 2 -4] e p=[c3 -1 0 1 0].
(a) ( 1 , 0 ponto) Pode-se mostrar que p satisfaz a equação matricial A x=b. Exiba b como uma combinação linear das colunas de A.
(b) ( 1,5 ponto) Encontre o conjunto solução do sistema A x=b e escreva b como outra combinação linear das colunas de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 2 & 0 & -1 & 0 -1 & -2 & 2 & -3 & -2 1 & 2 & -1 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & -4 & 0 ,
o vetor
b=0-42-4
e o vetor
p=3-1010,
sabendo-se que A p=b. Precisamos (a) exibir b como combinação linear das colunas de A usando p, e (b) resolver completamente A x=b e então dar outra combinação de b em termos das colunas de A.

Passo 2

Como p satisfaz A p=b, escrevemos
b=A,p =;3,a1;+;(-1),a2;+;0,a3;+;1,a4;+;0,a5,
onde aj é a j-ésima coluna de A. Ou seja,
b=3,a1-1,a2+1,a4

Passo 3

Para resolver
Da quarta equação vem
Substituindo na terceira e na primeira, obtemos imediatamente e .

Passo 4

Logo o conjunto solução é
com parâmetros . Em forma vetorial:

Passo 5

Para dar outra combinação de b em colunas de A, escolho s=0 e t=0 no vetor acima, obtendo o particular
x^(0)=(0,0,-2,0,0)^T
Então
b=A,x^(0)=-2,a3,
isto é,
b=-2;a3

Resposta

(a)
b=3,a1-1,a2+1,a4
(b)
Conjunto solução:
,xmid x2=s,;x4=t,; x1=-2s+t,;x3=2t-2,;x5=0,
e outra forma de escrever b é
b=-2,a3

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