Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ -1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -8 & -8 & -8 \\\\ 1 & -8 & 0 & k \end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear e pede o(s) valor(es) de k para que o sistema tenha solução:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ -1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -8 & -8 & -8 \\\\ 1 & -8 & 0 & k \end{array}\right]
As opções são: (A) -8, (B) -7, (C) -6, (D) -5, (E) -4, (F) -3, (G) -2, (H) -1.
O que precisamos: encontrar o(s) valor(es) de k que tornam o sistema compatível (isto é, que não gerem uma contradição do tipo 0= \text{não-zero}ã).

Passo 2

Estratégia: usar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para reduzir a matriz e verificar se surge alguma linha impossível. Lembrete rápido sobre operações por linhas: podemos somar múltiplos de uma linha a outra sem alterar o conjunto de soluções. Vou eliminar abaixo da primeira coluna (usar R_i para designar linhas).
Faço as operações
R_2 \leftarrow R_2 + R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Calculemos cada nova linha:
  • R_2 + R_1: (-1)+1=0,\; (-1)+(-2)=-3,\; 1+(-2)=-1,\; 0+(-2)=-2.
  • R_3 - R_1: 1-1=0,\; -8-(-2)=-6,\; -8-(-2)=-6,\; -8-(-2)=-6.
  • R_4 - R_1: 1-1=0,\; -8-(-2)=-6,\; 0-(-2)=2,\; k-(-2)=k+2.
A matriz vira
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ 0 & -3 & -1 & -2 \\\\ 0 & -6 & -6 & -6 \\\\ 0 & -6 & 4 & k+2 \end{array}\right].

Passo 3

Agora vou eliminar abaixo do pivô da segunda coluna (pivô na linha 2, valor -3). Para zerar as segundas entradas das linhas 3 e 4 uso:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2.
Calculemos:
  • Para R_3 - 2R_2: segunda entrada: -6 - 2(-3)=0. Terceira: -6 - 2(-1) = -6 +2 = -4. Augmentada: -6 - 2(-2) = -6 +4 = -2.
  • Para R_4 - 2R_2: segunda entrada: -6 - 2(-3)=0. Terceira: 4 - 2(-1) = 4 +2 = 6. Augmentada: (k+2) - 2(-2) = k+2 +4 = k+6.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ 0 & -3 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & -4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 6 & k+6 \end{array}\right].

Passo 4

Agora uso o pivô em R_3 (valor -4 na terceira coluna) para zerar a entrada correspondente em R_4. Faço:
R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{3}{2}R_3
ou, de modo mais simples e sem frações, note que 6 + (-4) = 2\cdot (3) + (-4) — mas prefiro uma operação inteira direta: primeiro posso fazer R_4 \leftarrow R_4 + R_3 se eu quiser zero? Vamos calcular diretamente R_4 + R_3:
terceira entrada: 6 + (-4) = 2. Isso não zera; para zerar exatamente, a operação correta é R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{3}{2}R_3. Porém há caminho mais simples: observe que podemos escolher R_4 \leftarrow R_4 + R_3 e depois combinar; mas para consistência basta obter a forma de linha que indique contradição ou não. Vou realizar a operação
R_4 \leftarrow R_4 + R_3,
que dá:
  • terceira: 6 + (-4) = 2.
  • augmentada: (k+6) + (-2) = k+4.
Então a matriz fica
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ 0 & -3 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & -4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 & k+4 \end{array}\right].
Mas é preferível eliminar completamente a terceira coluna em R_4. Para isso basta agora multiplicar R_4 por 2 e somar com R_3 multiplicada por 1? Uma forma direta e limpa: usar R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{1}{2}R_3 para zerar a terceira entrada. Aplicando R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{1}{2}R_3:
  • terceira: 2 + \tfrac{1}{2}(-4)=2 -2 =0.
  • augmentada: (k+4) + \tfrac{1}{2}(-2)=k+4 -1 = k+3.
    No entanto, se preferir operações inteiras, podemos ter obtido diretamente, desde a matriz do Passo 3, a operação R_4 \leftarrow R_4 + R_3 seguida de R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{1}{2}R_3; o importante é o resultado final correto. Vou seguir com a forma mais direta matematicamente exata: aplicar
R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{1}{2}R_3,
partindo da matriz do Passo 3. Assim obtemos finalmente
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -2 & -2 \\\\ 0 & -3 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & -4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & k+4 \end{array}\right].
(Observação didática curta: usar frações em operações por linhas é perfeitamente permitido; escolhi uma operação que zera exatamente a entrada para ficar com uma linha completamente nula no bloco de coeficientes quando apropriado.)

Passo 5

Interpretação da última linha: após eliminação temos uma linha que corresponde à equação
0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = k+4,
ou seja \,0 = k+4.
Para que não haja contradição (para que o sistema seja compatível) precisamos que essa igualdade seja verdadeira, logo
k+4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -4.
Se k \neq -4 a linha final seria 0 = número não-nulo, uma contradição, tornando o sistema incompatível.

Passo 6

Conclusão sobre existência e unicidade: para k = -4 a última linha vira 0=0, o posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada (ambos 3), e como há 3 incógnitas o sistema terá solução única. Para qualquer outro k o sistema é incompatível.

Resposta

(E) -4

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