Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-8 x-32 y=-4, \\\\ 6 x+24 y=3 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}9 x+4 y+6 z=3, \\\\ 2 y+z=7, \\\\ 8 y+4 z=28 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá dois sistemas lineares nas variáveis [x,y,z) e pergunta se, em (A), os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (ou seja: se são retas em \mathbb{R}^{3}). Vou listar explicitamente os dois sistemas que aparecem em (A):
O que é pedido: verificar, para cada um dos dois sistemas, se o conjunto das soluções tem dimensão 1\] (ou seja, se cada conjunto-soluição é uma reta em \(\mathbb{R}^{3}).]
Passo 2
Conceito e estratégia (passo-a-passo didático):
Para um sistema linear com n variáveis, se o sistema for consistente, a dimensão do conjunto de soluções (a dimensão do espaço afim solução) é
\text{dimensão} = n - \operatorname{rank}(A),ã
onde A é a matriz dos coeficientes e \operatorname{rank}(A) é o posto (rank) de A. Aqui n=3 porque as variáveis são x,y,z.
Se o sistema for consistente e \operatorname{rank}(A)=2, então \text{dimensão}=3-2=1ã e o conjunto-soluição é uma reta.
Se \operatorname{rank}(A)=1, então \text{dimensão}=3-1=2ã e o conjunto-soluição é um plano.
Para verificar consistência é preciso checar que a matriz aumentada (A|b) tenha o mesmo posto que A. Na prática, isso equivale a ver se alguma equação é combinação linear das outras com os mesmos coeficientes aplicados também aos termos independentes.
Vou aplicar isso aos dois sistemas: calcular dependências lineares entre as equações (ou fazer eliminação) para obter o posto e a forma paramétrica da solução.
Escrevendo as linhas dos coeficientes (considerando a ordem x,y,z) obtemos os vetores linha (-8,-32,0) e (6,24,0).
Observação simples: (6,24,0)=(-\tfrac{3}{4})\cdot(-8,-32,0). Ou seja, a segunda equação é múltiplo da primeira na parte dos coeficientes. Logo \operatorname{rank}(A)=1.
Verificar a consistência: aplicar o mesmo fator aos termos independentes: -4\cdot(-\tfrac{3}{4})=3. Como isso é verdade, a segunda equação também é -\tfrac{3}{4} vezes a primeira incluindo o lado direito. Portanto a matriz aumentada tem o mesmo posto: \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A|b)=1. O sistema é consistente.
Conclusão sobre dimensão: n=3, posto =1 então
\text{dimensão do conjunto-solução} = 3-1=2.ãçã
Ou seja, o conjunto-solução do Sistema 1 é um plano, não uma reta.
Para ficar bem concreto: resolvendo a única equação independente (por exemplo dividir a primeira por -4):
2x+8y=1 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}-4y.
As variáveis livres podem ser y e z. Tomando y=s,\\ z=t obtemos a forma paramétrica
Note que a terceira equação é 8y+4z=28 e a segunda é 2y+z=7. Verifico se há relação de proporcionalidade: 4\cdot(2y+z)=8y+4z e 4\cdot 7=28. Logo a terceira equação é exatamente 4 vezes a segunda, incluindo o termo independente. Portanto a terceira equação é redundante; ela não aumenta o posto.
Assim, efetivamente temos duas equações independentes entre as três variáveis, portanto \operatorname{rank}(A)\le 2. Vou checar se as duas equações independentes são realmente independentes entre si (i.e., se não há também dependência envolvendo a primeira).
A segunda equação permite expressar z em função de y:
Logo há uma segunda equação independente entre x e y:
9x-8y=-39.
Portanto, as duas equações independentes são 9x-8y=-39 e 2y+z=7. Isso dá exatamente 2 restrições independentes sobre 3 incógnitas, logo \operatorname{rank}(A)=2 e a matriz aumentada tem o mesmo posto (pois a redundância da 3ª equação era compatível).
Conclusão sobre dimensão: n=3, posto =2 então
\text{dimensão do conjunto-solução} = 3-2=1.ãçã
Ou seja, o conjunto-solução do Sistema 2 é uma reta.
Forma paramétrica explícita (para ver que há um parâmetro só): tomamos y=s. Então
Sistema 1: conjunto-soluição tem dimensão 2 (um plano).
Sistema 2: conjunto-solução tem dimensão 1 (uma reta).
Portanto, na opção (A) os dois conjuntos-solução NÃO têm ambos dimensão 1. Apenas o segundo sistema tem dimensão 1; o primeiro tem dimensão 2.
Resposta
Não — o primeiro sistema tem dimensão 2 (um plano) e o segundo tem dimensão 1 (uma reta).