Q3: Sabendo que o ponto ( -7,-8,7, k ) pertence ao plano (3,2,-1,1)+\operatorname{span}\{(2,2,-1,1),(3,3,-3,2)\}, assinale o valor de k :
(A) -8
(A) -8
(B) -7
(B) -7
(C) -6
(C) -6
(D) -5
(D) -5
(E) -4
(E) -4
(F) -3
(F) -3
(G) -2
(G) -
(H) -
(H) -1

Passo 1

O enunciado dá um ponto e um conjunto gerador do plano e pede o valor de k tal que o ponto pertença a esse plano.
  • Ponto testado: \,(-7,-8,7,k)\,.
  • O plano é dado por um ponto + span de dois vetores:
    • ponto base: (3,2,-1,1),
    • vetores que geram a direção do plano: (2,2,-1,1) e (3,3,-3,2).
  • Pergunta: qual é o valor de k que faz (-7,-8,7,k) pertencer a esse conjunto?

Passo 2

Entendimento e modelo matemático: um ponto pertence ao plano definido por (3,2,-1,1)+\operatorname{span}\{(2,2,-1,1),(3,3,-3,2)\} se existir escalares s e t tais que
(3,2,-1,1)+s\,(2,2,-1,1)+t\,(3,3,-3,2)=(-7,-8,7,k).
Aqui s e t são números reais desconhecidos; resolvendo para s,t conseguimos também determinar k.

Passo 3

Escrevendo a igualdade componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} 3+2s+3t=-7,\\[4pt] 2+2s+3t=-8,\\[4pt] -1 -s -3t=7,\\[4pt] 1 + s + 2t = k. \end{cases}
Cada linha corresponde a uma coordenada (primeira, segunda, terceira e quarta, respectivamente).]

Passo 4

Resolver as primeiras três equações para encontrar s e t.
Das duas primeiras equações notamos que ambas têm a combinação 2s+3t. Verificando:
3+2s+3t=-7 \quad\Rightarrow\quad 2s+3t=-10,
2+2s+3t=-8 \quad\Rightarrow\quad 2s+3t=-10.
As duas são consistentes e dão a mesma relação 2s+3t=-10.
A terceira equação dá
-1 -s -3t=7 \quad\Rightarrow\quad -s-3t=8 \quad\Rightarrow\quad s+3t=-8.
Agora temos o sistema simples
\begin{cases} 2s+3t=-10,\\[4pt] s+3t=-8. \end{cases}]

Passo 5

Subtrair a segunda equação da primeira para eliminar t:
(2s+3t)-(s+3t)=-10-(-8)\quad\Rightarrow\quad s=-2.
Com s=-2, usar s+3t=-8 para achar t:
-2+3t=-8\quad\Rightarrow\quad 3t=-6\quad\Rightarrow\quad t=-2.
Portanto s=-2 e t=-2.

Passo 6

Determinar k usando a quarta equação \,1+s+2t=k\,.
Substituindo s=-2 e t=-2:
k=1+(-2)+2\cdot(-2)=1-2-4=-5.

Passo 7

Interpretação final: existe s e t (especificamente s=t=-2) que colocam o ponto dado no plano, e o valor de k resultante é -5. Esse valor corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) -5

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