Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rrr|r}1 & -2 & 1 & 2 \\\\ -1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -5 & 6 & 2 \\\\ -1 & 8 & -8 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4
Passo 1
O enunciado fornece a matriz aumentada do sistema linear e pede o(s) valor(es) de k para que o sistema tenha solução. A matriz dada é
As linhas representam equações do sistema; os três primeiros números de cada linha são os coeficientes das incógnitas e o último é o termo independente.
Pergunta: determinar o(s) valor(es) de k para os quais o sistema é compatível (tem solução).
As opções disponíveis são k\in\{-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4\}.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): usar eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas) para transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior.
Breve explicação das operações elementares permitidas:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a um múltiplo de uma linha outra linha.
Essas operações preservam o conjunto de soluções. Ao triangularizar, se aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] com c\neq0, isso indica inconsistência (nenhuma solução). Se todas as linhas nulas tiverem c=0, o sistema é compatível (tem solução). Vou aplicar passo a passo as operações e acompanhar o que ocorre com o último elemento que depende de k.
Passo 3
Começo com as linhas nomeadas \text{R}_1,\text{R}_2,\text{R}_3,\text{R}_4 iguais às linhas dadas. Primeiro objetivo: eliminar a primeira coluna nas linhas \text{R}_2,\text{R}_3,\text{R}_4 usando \text{R}_1.
Próximo objetivo: eliminar a segunda coluna nas linhas \text{R}_3 e \text{R}_4 usando \text{R}_2 como pivô na segunda coluna. Observação: \text{R}_2 tem entrada -3 na segunda coluna, que é um bom pivô (não nulo).
Agora uso a terceira linha \text{R}_3 (com pivô 3 na terceira coluna) para eliminar a terceira coluna em \text{R}_4. Some \text{R}_3 e \text{R}_4 porque 3 + (-3) = 0: