Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -2 & 1 & 2 \\\\ -1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -5 & 6 & 2 \\\\ -1 & 8 & -8 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4

Passo 1

O enunciado fornece a matriz aumentada do sistema linear e pede o(s) valor(es) de k para que o sistema tenha solução. A matriz dada é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 1 & 2 \\\\ -1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -5 & 6 & 2 \\\\ -1 & 8 & -8 & k \end{array}\right].
Informações relevantes:
  • As linhas representam equações do sistema; os três primeiros números de cada linha são os coeficientes das incógnitas e o último é o termo independente.
  • Pergunta: determinar o(s) valor(es) de k para os quais o sistema é compatível (tem solução).
  • As opções disponíveis são k\in\{-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4\}.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): usar eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas) para transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior.
Breve explicação das operações elementares permitidas:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • somar a um múltiplo de uma linha outra linha.
    Essas operações preservam o conjunto de soluções. Ao triangularizar, se aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] com c\neq0, isso indica inconsistência (nenhuma solução). Se todas as linhas nulas tiverem c=0, o sistema é compatível (tem solução). Vou aplicar passo a passo as operações e acompanhar o que ocorre com o último elemento que depende de k.

Passo 3

Começo com as linhas nomeadas \text{R}_1,\text{R}_2,\text{R}_3,\text{R}_4 iguais às linhas dadas. Primeiro objetivo: eliminar a primeira coluna nas linhas \text{R}_2,\text{R}_3,\text{R}_4 usando \text{R}_1.
Escrevendo as linhas iniciais:
\text{R}_1=[\,1\\\ -2\\\ 1\mid 2\,], \quad \text{R}_2=[\,-1\\\ -1\\\ 1\mid 0\,], \quad \text{R}_3=[\,1\\\ -5\\\ 6\mid 2\,], \quad \text{R}_4=[\,-1\\\ 8\\\ -8\mid k\,].
Faço as operações:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_1 + \text{R}_2, \qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1, \qquad \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + \text{R}_1.
Calculemos cada uma:
\text{R}_2 = [\,1+(-1)\;,\; -2+(-1)\;,\; 1+1\mid 2+0\,] = [\,0\\\ -3\\\ 2\mid 2\,],
\text{R}_3 = [\,1-1\;,\; -5-(-2)\;,\; 6-1\mid 2-2\,] = [\,0\\\ -3\\\ 5\mid 0\,],
\text{R}_4 = [\,-1+1\;,\; 8+(-2)\;,\; -8+1\mid k+2\,] = [\,0\\\ 6\\\ -7\mid k+2\,].
Agora a matriz está:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 1 & 2 \\\\ 0 & -3 & 2 & 2 \\\\ 0 & -3 & 5 & 0 \\\\ 0 & 6 & -7 & k+2 \end{array}\right].

Passo 4

Próximo objetivo: eliminar a segunda coluna nas linhas \text{R}_3 e \text{R}_4 usando \text{R}_2 como pivô na segunda coluna. Observação: \text{R}_2 tem entrada -3 na segunda coluna, que é um bom pivô (não nulo).
Para zerar \text{R}_3 na segunda coluna:
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_2.
Cálculo:
\text{R}_3 = [\,0-0\;,\; -3-(-3)\;,\; 5-2\mid 0-2\,] = [\,0\\\ 0\\\ 3\mid -2\,].
Para zerar \text{R}_4 na segunda coluna observe que \text{R}_4 tem 6 e \text{R}_2 tem -3, então:
\text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + 2\cdot\text{R}_2.
Cálculo:
\text{R}_4 = [\,0+2\cdot0\;,\; 6+2\cdot(-3)\;,\; -7+2\cdot2\mid (k+2)+2\cdot2\,] = [\,0\\\ 0\\\ -3\mid k+6\,].
Agora a matriz é:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 1 & 2 \\\\ 0 & -3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & -3 & k+6 \end{array}\right].

Passo 5

Agora uso a terceira linha \text{R}_3 (com pivô 3 na terceira coluna) para eliminar a terceira coluna em \text{R}_4. Some \text{R}_3 e \text{R}_4 porque 3 + (-3) = 0:
\text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + \text{R}_3.
Cálculo:
\text{R}_4 = [\,0+0\;,\; 0+0\;,\; -3+3 \mid (k+6)+(-2)\,] = [\,0\\\ 0\\\ 0\mid k+4\,].
Então a linha final é [\,0\\\ 0\\\ 0\mid k+4\,].

Passo 6

Interpretação final (condição de consistência): uma linha [\,0\\\ 0\\\ 0\mid c\,] representa a equação 0x_1+0x_2+0x_3 = c, isto é 0=c.
  • Se c\neq0 então temos contradição e o sistema é incompatível (sem solução).
  • Se c=0 então a linha é redundante e não impede a existência de solução.
No nosso caso a linha final dá c=k+4. Para o sistema ser compatível é necessário e suficiente que
k+4=0.
Logo
k=-4.

Resposta

(H) -4

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