Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}9 x+3 y=24, \\\\ -9 x-3 y=-24 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}6 x+7 y+2 z=5, \\\\ 3 y+8 z=4, \\\\ 12 y+32 z=16 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}3 x+7 y+z=2, \\\\ 5 x+2 z=1, \\\\ -20 x-8 z=-4 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}10 x+30 y+25 z=35, \\\\ -12 x-4 y=-32, \\\ y=4 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}2 x+6 y+5 z=7, \\\\ 10 x+30 y+25 z=35, \\\\ 3 x+y=8 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-8 x-24 y-20 z=-28, \\\\ 15 y+40 z=20 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}10 x+30 y+25 z=35, \\\\ -12 y-32 z=-16 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}24 x+28 y+8 z=20, \\\\ -30 x-35 y-10 z=-25 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}15 x+35 y+5 z=10, \\\\ -20 x-8 z=-4 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}8 x+24 y+20 z=28, \\\\ -10 x-30 y-25 z=-35 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{aligned} 2 x+6 y+5 z & =7, \\\\ 3 x+y & =8, \\\ y & =4 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}8 x+24 y+20 z=28, \\\\ -15 y-40 z=-20 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: entre as opções (A) a (F), encontrar a opção em que os dois sistemas apresentados têm conjuntos-solução de dimensão 1 (ou seja, cada conjunto-solução é uma reta em [\mathbb{R}^{3})).
Vou listar os sistemas de cada opção exatamente como dados no enunciado.
O objetivo é verificar para cada um dos 12 sistemas se o conjunto de soluções tem dimensão (1] (reta). Vou analisar cada sistema.]
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): para um sistema linear com n incógnitas (aqui n=3, variáveis x,y,z), se o sistema for consistente então a dimensão do espaço das soluções é
\dim(\text{soluções}) = n - \operatorname{rank}(A),çõ
onde A é a matriz dos coeficientes e \operatorname{rank}(A) é o posto (número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes). Assim, para que o conjunto-solução seja uma reta em \mathbb{R}^3 precisamos de
e o sistema deve ser consistente (posto da matriz aumentada igual ao posto de A).
Como calcular o posto na prática (maneira prática para a prova):
Se duas equações são múltiplos exatos (mesmos coeficientes multiplicados por um escalar) então são dependentes.
Ao reduzir por eliminação (ou observar combinações lineares), contar quantas linhas independentes restam.
Verificar consistência observando se uma equação redundante mantém o mesmo RHS multiplicado; se uma linha se reduz a 0= c com c\neq0, então é inconsistente.
Vou aplicar isso sistema a sistema, mostrando as contas necessárias.
Observação: a segunda equação é exatamente -1 vezes a primeira (coeficientes e RHS): -1\cdot(9x+3y)= -9x-3y e -1\cdot 24 = -24. Logo as duas equações são dependentes e não adicionam informação nova. Portanto a matriz dos coeficientes (duas linhas) tem posto \operatorname{rank}(A)=1. Com n=3 variáveis, a dimensão das soluções é 3-1=2. Conclusão: Sistema A1 tem conjunto-solução de dimensão 2 (um plano), não 1.]
Observar dependências entre as equações em y,z: a terceira equação é 4 vezes a segunda, pois 4\cdot(3y+8z)=12y+32z e 4\cdot 4=16. Logo a terceira é dependente da segunda. Então efetivamente temos duas equações independentes (a primeira e a segunda, que envolvem x,y,z e apenas y,z). Assim \operatorname{rank}(A)=2. Além disso a dependência é consistente (RHS escala corretamente), então o sistema é consistente. Com n=3, dimensão =3-2=1. Conclusão: Sistema A2 tem conjunto-solução de dimensão 1. Porém como A1 tinha dimensão 2, a opção (A) não satisfaz que ambos os sistemas tenham dimensão 1.]
Note que a terceira equação é -4 vezes a segunda: -4\cdot(5x+2z) = -20x-8z e -4\cdot 1 = -4. Assim a terceira é dependente da segunda. Portanto temos duas equações efetivas: a primeira e a segunda (independentes entre si, visto que a primeira envolve y enquanto a segunda não, então não são múltiplos). Assim \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente (dependência do tipo escala correta). Logo dimensão =3-2=1. Conclusão: Sistema B1 tem dimensão 1.]
Com x e y determinados, a primeira equação determina z unicamente. Assim existe solução única (uma só tripla (x,y,z)), o que corresponde a \operatorname{rank}(A)=3 e dimensão =3-3=0. Conclusão: Sistema B2 tem dimensão 0 (ponto). Como B1 tinha dimensão 1, a opção (B) não tem ambos com dimensão 1.]
Observação: a segunda equação é 5 vezes a primeira, pois 5\cdot(2x+6y+5z)=10x+30y+25z e 5\cdot 7=35. Então a segunda é dependente da primeira. Sobram duas equações efetivas: a primeira e a terceira. Essas duas não são múltiplas entre si (primeira envolve z, terceira não), portanto são linearmente independentes. Logo \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é consistente (não há contradição nas dependências). Assim dimensão =3-2=1. Podemos ver explicitamente: da terceira y=8-3x. Substituindo na primeira obtemos uma única relação entre x e z que deixa z livre, caracterizando uma reta. Conclusão: Sistema C1 tem dimensão 1.]
Aqui são duas equações em três incógnitas. As duas linhas são claramente independentes (a primeira tem coeficiente de x diferente de zero enquanto a segunda tem coeficiente de x igual a zero), portanto \operatorname{rank}(A)=2. Não há indicação de inconsistência (nenhuma equação reduz a algo absurdo), então o sistema é consistente. Logo dimensão =3-2=1. Conclusão: Sistema C2 tem dimensão 1.]
Passo 9
Resultado para (C): Ambos os sistemas C1 e C2 têm posto 2 e são consistentes, portanto ambos têm conjuntos-solução de dimensão 1 (retas). Assim a opção (C) satisfaz a condição pedida.
Duas equações independentes em três incógnitas (a primeira envolve x enquanto a segunda não), então \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente; dimensão =1. Por enquanto D1 dá uma reta.]
Portanto as duas equações são dependentes e a matriz dos coeficientes tem posto 1. Com n=3, isso dá dimensão =3-1=2. Logo D2 tem conjunto-solução de dimensão 2. Assim a opção (D) falha porque D1 deu dimensão 1 mas D2 deu 2.]
As duas equações não são múltiplos uma da outra (a primeira tem coeficiente de y diferente de zero, a segunda tem coeficiente de y igual a zero), então são independentes: \operatorname{rank}(A)=2. Sem inconsistência aparente, dimensão =3-2=1. Assim E1 é uma reta.]
Aqui y é dado como 4. Substituindo em 3x+y=8 obtemos 3x+4=8\Rightarrow x=\tfrac{4}{3}. Substituindo x,y na primeira equação determina z unicamente. Assim há solução única (ponto), i.e. \operatorname{rank}(A)=3 e dimensão =0. Logo F1 não tem dimensão 1.]
As duas equações são independentes (primeira envolve x, a segunda não), então \operatorname{rank}(A)=2. Sistema consistente; dimensão =3-2=1. Assim F2 é uma reta, mas F1 não, então a opção (F) falha.]
Passo 16
Resumo das conclusões por opção (mostrando as dimensões encontradas):
(A): A1 tem dimensão 2, A2 tem dimensão 1. => não.
(B): B1 tem dimensão 1, B2 tem dimensão 0. => não.
(C): C1 tem dimensão 1, C2 tem dimensão 1. => sim.
(D): D1 tem dimensão 1, D2 tem dimensão 2. => não.
(E): E1 tem dimensão 1, E2 tem dimensão 2. => não.
(F): F1 tem dimensão 0, F2 has dimension 1. => not.
Portanto a única opção em que ambos os sistemas têm conjuntos-solução de dimensão 1 é a opção (C).