Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}9 x+3 y=24, \\\\ -9 x-3 y=-24 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}6 x+7 y+2 z=5, \\\\ 3 y+8 z=4, \\\\ 12 y+32 z=16 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}3 x+7 y+z=2, \\\\ 5 x+2 z=1, \\\\ -20 x-8 z=-4 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}10 x+30 y+25 z=35, \\\\ -12 x-4 y=-32, \\\ y=4 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}2 x+6 y+5 z=7, \\\\ 10 x+30 y+25 z=35, \\\\ 3 x+y=8 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}-8 x-24 y-20 z=-28, \\\\ 15 y+40 z=20 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}10 x+30 y+25 z=35, \\\\ -12 y-32 z=-16 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}24 x+28 y+8 z=20, \\\\ -30 x-35 y-10 z=-25 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}15 x+35 y+5 z=10, \\\\ -20 x-8 z=-4 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}8 x+24 y+20 z=28, \\\\ -10 x-30 y-25 z=-35 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{aligned} 2 x+6 y+5 z & =7, \\\\ 3 x+y & =8, \\\ y & =4 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{array}{r}8 x+24 y+20 z=28, \\\\ -15 y-40 z=-20 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: entre as opções (A) a (F), encontrar a opção em que os dois sistemas apresentados têm conjuntos-solução de dimensão 1 (ou seja, cada conjunto-solução é uma reta em [\mathbb{R}^{3})).
Vou listar os sistemas de cada opção exatamente como dados no enunciado.
  • Opção (A):
    Sistema A1:
    \begin{cases} 9x+3y=24,\\[4pt] -9x-3y=-24. \end{cases}
    Sistema A2:
    \begin{cases} 6x+7y+2z=5,\\[4pt] 3y+8z=4,\\[4pt] 12y+32z=16. \end{cases}
  • Opção (B):
    Sistema B1:
    \begin{cases} 3x+7y+z=2,\\[4pt] 5x+2z=1,\\[4pt] -20x-8z=-4. \end{cases}
    Sistema B2:
    \begin{cases} 10x+30y+25z=35,\\[4pt] -12x-4y=-32,\\[4pt] y=4. \end{cases}
  • Opção (C):
    Sistema C1:
    \begin{cases} 2x+6y+5z=7,\\[4pt] 10x+30y+25z=35,\\[4pt] 3x+y=8. \end{cases}
    Sistema C2:
    \begin{cases} -8x-24y-20z=-28,\\[4pt] 15y+40z=20. \end{cases}
  • Opção (D):
    Sistema D1:
    \begin{cases} 10x+30y+25z=35,\\[4pt] -12y-32z=-16. \end{cases}
    Sistema D2:
    \begin{cases} 24x+28y+8z=20,\\[4pt] -30x-35y-10z=-25. \end{cases}
  • Opção (E):
    Sistema E1:
    \begin{cases} 15x+35y+5z=10,\\[4pt] -20x-8z=-4. \end{cases}
    Sistema E2:
    \begin{cases} 8x+24y+20z=28,\\[4pt] -10x-30y-25z=-35. \end{cases}
  • Opção (F):
    Sistema F1:
    \begin{cases} 2x+6y+5z=7,\\[4pt] 3x+y=8,\\[4pt] y=4. \end{cases}
    Sistema F2:
    \begin{cases} 8x+24y+20z=28,\\[4pt] -15y-40z=-20. \end{cases}
O objetivo é verificar para cada um dos 12 sistemas se o conjunto de soluções tem dimensão (1] (reta). Vou analisar cada sistema.]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): para um sistema linear com n incógnitas (aqui n=3, variáveis x,y,z), se o sistema for consistente então a dimensão do espaço das soluções é
\dim(\text{soluções}) = n - \operatorname{rank}(A),çõ
onde A é a matriz dos coeficientes e \operatorname{rank}(A) é o posto (número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes). Assim, para que o conjunto-solução seja uma reta em \mathbb{R}^3 precisamos de
\dim(\text{soluções}) = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{rank}(A)=2çõ
e o sistema deve ser consistente (posto da matriz aumentada igual ao posto de A).
Como calcular o posto na prática (maneira prática para a prova):
  • Se duas equações são múltiplos exatos (mesmos coeficientes multiplicados por um escalar) então são dependentes.
  • Ao reduzir por eliminação (ou observar combinações lineares), contar quantas linhas independentes restam.
  • Verificar consistência observando se uma equação redundante mantém o mesmo RHS multiplicado; se uma linha se reduz a 0= c com c\neq0, então é inconsistente.
Vou aplicar isso sistema a sistema, mostrando as contas necessárias.

Passo 3

Análise de (A), Sistema A1:
\begin{cases} 9x+3y=24,\\[4pt] -9x-3y=-24. \end{cases}
Observação: a segunda equação é exatamente -1 vezes a primeira (coeficientes e RHS): -1\cdot(9x+3y)= -9x-3y e -1\cdot 24 = -24. Logo as duas equações são dependentes e não adicionam informação nova. Portanto a matriz dos coeficientes (duas linhas) tem posto \operatorname{rank}(A)=1. Com n=3 variáveis, a dimensão das soluções é 3-1=2. Conclusão: Sistema A1 tem conjunto-solução de dimensão 2 (um plano), não 1.]

Passo 4

Análise de (A), Sistema A2:
\begin{cases} 6x+7y+2z=5,\\[4pt] 3y+8z=4,\\[4pt] 12y+32z=16. \end{cases}
Observar dependências entre as equações em y,z: a terceira equação é 4 vezes a segunda, pois 4\cdot(3y+8z)=12y+32z e 4\cdot 4=16. Logo a terceira é dependente da segunda. Então efetivamente temos duas equações independentes (a primeira e a segunda, que envolvem x,y,z e apenas y,z). Assim \operatorname{rank}(A)=2. Além disso a dependência é consistente (RHS escala corretamente), então o sistema é consistente. Com n=3, dimensão =3-2=1. Conclusão: Sistema A2 tem conjunto-solução de dimensão 1. Porém como A1 tinha dimensão 2, a opção (A) não satisfaz que ambos os sistemas tenham dimensão 1.]

Passo 5

Análise de (B), Sistema B1:
\begin{cases} 3x+7y+z=2,\\[4pt] 5x+2z=1,\\[4pt] -20x-8z=-4. \end{cases}
Note que a terceira equação é -4 vezes a segunda: -4\cdot(5x+2z) = -20x-8z e -4\cdot 1 = -4. Assim a terceira é dependente da segunda. Portanto temos duas equações efetivas: a primeira e a segunda (independentes entre si, visto que a primeira envolve y enquanto a segunda não, então não são múltiplos). Assim \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente (dependência do tipo escala correta). Logo dimensão =3-2=1. Conclusão: Sistema B1 tem dimensão 1.]

Passo 6

Análise de (B), Sistema B2:
\begin{cases} 10x+30y+25z=35,\\[4pt] -12x-4y=-32,\\[4pt] y=4. \end{cases}
Aqui y já é fixado por y=4. Substituindo em -12x-4y=-32
-12x-4\cdot 4 = -32 \quad\Rightarrow\quad -12x-16=-32 \quad\Rightarrow\quad -12x=-16 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4}{3}.
Com x e y determinados, a primeira equação determina z unicamente. Assim existe solução única (uma só tripla (x,y,z)), o que corresponde a \operatorname{rank}(A)=3 e dimensão =3-3=0. Conclusão: Sistema B2 tem dimensão 0 (ponto). Como B1 tinha dimensão 1, a opção (B) não tem ambos com dimensão 1.]

Passo 7

Análise de (C), Sistema C1:
\begin{cases} 2x+6y+5z=7,\\[4pt] 10x+30y+25z=35,\\[4pt] 3x+y=8. \end{cases}
Observação: a segunda equação é 5 vezes a primeira, pois 5\cdot(2x+6y+5z)=10x+30y+25z e 5\cdot 7=35. Então a segunda é dependente da primeira. Sobram duas equações efetivas: a primeira e a terceira. Essas duas não são múltiplas entre si (primeira envolve z, terceira não), portanto são linearmente independentes. Logo \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é consistente (não há contradição nas dependências). Assim dimensão =3-2=1. Podemos ver explicitamente: da terceira y=8-3x. Substituindo na primeira obtemos uma única relação entre x e z que deixa z livre, caracterizando uma reta. Conclusão: Sistema C1 tem dimensão 1.]

Passo 8

Análise de (C), Sistema C2:
\begin{cases} -8x-24y-20z=-28,\\[4pt] 15y+40z=20. \end{cases}
Aqui são duas equações em três incógnitas. As duas linhas são claramente independentes (a primeira tem coeficiente de x diferente de zero enquanto a segunda tem coeficiente de x igual a zero), portanto \operatorname{rank}(A)=2. Não há indicação de inconsistência (nenhuma equação reduz a algo absurdo), então o sistema é consistente. Logo dimensão =3-2=1. Conclusão: Sistema C2 tem dimensão 1.]

Passo 9

Resultado para (C): Ambos os sistemas C1 e C2 têm posto 2 e são consistentes, portanto ambos têm conjuntos-solução de dimensão 1 (retas). Assim a opção (C) satisfaz a condição pedida.

Passo 10

Análise de (D), Sistema D1:
\begin{cases} 10x+30y+25z=35,\\[4pt] -12y-32z=-16. \end{cases}
Duas equações independentes em três incógnitas (a primeira envolve x enquanto a segunda não), então \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente; dimensão =1. Por enquanto D1 dá uma reta.]

Passo 11

Análise de (D), Sistema D2:
\begin{cases} 24x+28y+8z=20,\\[4pt] -30x-35y-10z=-25. \end{cases}
Note que a segunda equação é -\tfrac{5}{4} vezes a primeira, porque
-\tfrac{5}{4}\cdot 24 = -30,\quad -\tfrac{5}{4}\cdot 28 = -35,\quad -\tfrac{5}{4}\cdot 8 = -10,\quad -\tfrac{5}{4}\cdot 20 = -25.
Portanto as duas equações são dependentes e a matriz dos coeficientes tem posto 1. Com n=3, isso dá dimensão =3-1=2. Logo D2 tem conjunto-solução de dimensão 2. Assim a opção (D) falha porque D1 deu dimensão 1 mas D2 deu 2.]

Passo 12

Análise de (E), Sistema E1:
\begin{cases} 15x+35y+5z=10,\\[4pt] -20x-8z=-4. \end{cases}
As duas equações não são múltiplos uma da outra (a primeira tem coeficiente de y diferente de zero, a segunda tem coeficiente de y igual a zero), então são independentes: \operatorname{rank}(A)=2. Sem inconsistência aparente, dimensão =3-2=1. Assim E1 é uma reta.]

Passo 13

Análise de (E), Sistema E2:
\begin{cases} 8x+24y+20z=28,\\[4pt] -10x-30y-25z=-35. \end{cases}
Aqui a segunda equação é -\tfrac{5}{4} vezes a primeira, pois
-\tfrac{5}{4}\cdot 8 = -10,\quad -\tfrac{5}{4}\cdot 24 = -30,\quad -\tfrac{5}{4}\cdot 20 = -25,\quad -\tfrac{5}{4}\cdot 28 = -35.
Então as equações são dependentes e \operatorname{rank}(A)=1. Com n=3 isso dá dimensão =2. Portanto E2 é um plano (dimensão 2), e a opção (E) falha.]

Passo 14

Análise de (F), Sistema F1:
\begin{cases} 2x+6y+5z=7,\\[4pt] 3x+y=8,\\[4pt] y=4. \end{cases}
Aqui y é dado como 4. Substituindo em 3x+y=8 obtemos 3x+4=8\Rightarrow x=\tfrac{4}{3}. Substituindo x,y na primeira equação determina z unicamente. Assim há solução única (ponto), i.e. \operatorname{rank}(A)=3 e dimensão =0. Logo F1 não tem dimensão 1.]

Passo 15

Análise de (F), Sistema F2:
\begin{cases} 8x+24y+20z=28,\\[4pt] -15y-40z=-20. \end{cases}
As duas equações são independentes (primeira envolve x, a segunda não), então \operatorname{rank}(A)=2. Sistema consistente; dimensão =3-2=1. Assim F2 é uma reta, mas F1 não, então a opção (F) falha.]

Passo 16

Resumo das conclusões por opção (mostrando as dimensões encontradas):
  • (A): A1 tem dimensão 2, A2 tem dimensão 1. => não.
  • (B): B1 tem dimensão 1, B2 tem dimensão 0. => não.
  • (C): C1 tem dimensão 1, C2 tem dimensão 1. => sim.
  • (D): D1 tem dimensão 1, D2 tem dimensão 2. => não.
  • (E): E1 tem dimensão 1, E2 tem dimensão 2. => não.
  • (F): F1 tem dimensão 0, F2 has dimension 1. => not.
Portanto a única opção em que ambos os sistemas têm conjuntos-solução de dimensão 1 é a opção (C).

Resposta

C

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