O enunciado descreve o conjunto de todos os (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4} tais que
7x_{1}+x_{3}=-5.
A pergunta é: qual das alternativas (A)–(H) representa exatamente esse conjunto, i.e., qual alternativa fornece um vetor particular p\in\mathbb{R}^{4} com 7p_{1}+p_{3}=-5 e um subespaço S\subset\mathbb{R}^{4} tal que a alternativa descreve o conjunto como p+\operatorname{span}\{\dots\}.
Informações relevantes dadas:
Há uma única equação linear entre quatro incógnitas, logo o conjunto é um subespaço afim de dimensão 3.
Para uma representação do tipo p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} ser correta, é necessário que:
p satisfaça 7p_{1}+p_{3}=-5 (é um ponto particular da hipersuperfície).
Cada gerador v_{i} da parte linear satisfaça a equação homogênea associada 7v_{i1}+v_{i3}=0, de modo que somar qualquer combinação linear desses vetores não altere o valor de 7x_{1}+x_{3}.
Passo 2
Vou achar uma forma geral das soluções da equação 7x_{1}+x_{3}=-5 (essa é a teoria básica: resolver uma equação linear em várias variáveis dá uma família afim de dimensão igual ao nº de variáveis menos o nº de restrições).
Um vetor particular é p=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -5\\\ 0\end{pmatrix} (é obtido colocando s=t=u=0).
O espaço homogêneo (soluções de 7x_{1}+x_{3}=0) é gerado por \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Qualquer representação correta da solução deve ser uma tradução desse subespaço homogêneo por algum particular p que satisfaça a equação original.
Observação: é permitido trocar geradores por múltiplos não nulos ou combinar entre si, desde que o subespaço gerado seja o mesmo (por exemplo \begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} também gera a componente x_{2} porque é múltiplo de \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}).
Passo 4
Critério prático para checar as alternativas:
Verificar se o vetor particular p da alternativa satisfaz 7p_{1}+p_{3}=-5.
Verificar se cada vetor gerador v da alternativa satisfaz 7v_{1}+v_{3}=0. Se ambos os itens forem verdadeiros, a alternativa representa um conjunto contido no conjunto pedido e, como há três geradores linearmente independentes (ou geradores suficientes para um subespaço 3D), representa exatamente o conjunto pedido.
Vou aplicar esse critério às alternativas.
Passo 5
Testes das alternativas (para cada alternativa calculo 7p_{1}+p_{3} e, quando aplicável, 7v_{1}+v_{3} para os geradores):
Todos os geradores satisfazem a condição homogênea, logo (E) é candidata válida.
(F) p=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} (já vimos esse p é válido). Mas v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} dá 7\cdot0+(-1)=-1\neq0, então (F) falha.
(G) p=\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ -12\\\ 2\end{pmatrix} (já visto em (B) é inválido), logo (G) falha.
(H) p=\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 16\\\ 1\end{pmatrix} (já visto em (D) é válido), porém v_{2}=\begin{pmatrix}-4\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} dá 7(-4)+0=-28\neq0, logo (H) falha.
Depois desses cheques, apenas (E) passou ambas as condições.
Passo 6
Para consolidar: mostro que a alternativa (E) de fato descreve todas as soluções. Na (E) temos
Portanto todo vetor dessa forma satisfaz a equação. Além disso, os geradores controlam livremente x_{1} (via a), x_{2} (via b, porque x_{2}=p_{2}+7b permite qualquer valor de x_{2} escolhendo b) e x_{4} (via c, porque x_{4}=p_{4}-6c permite qualquer valor de x_{4} escolhendo c). Assim, (E) gera exatamente o conjunto de todas as soluções.