Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que 7 x_{1}+x_{3}=-5 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -3 \\\\ 9 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 4\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3 \\\\ -12 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -1 \\\\ 16 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -3 \\\\ 9 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 7 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -6\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3 \\\\ -12 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -1 \\\\ 16 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado descreve o conjunto de todos os (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4} tais que
7x_{1}+x_{3}=-5.
A pergunta é: qual das alternativas (A)–(H) representa exatamente esse conjunto, i.e., qual alternativa fornece um vetor particular p\in\mathbb{R}^{4} com 7p_{1}+p_{3}=-5 e um subespaço S\subset\mathbb{R}^{4} tal que a alternativa descreve o conjunto como p+\operatorname{span}\{\dots\}.
Informações relevantes dadas:
  • Há uma única equação linear entre quatro incógnitas, logo o conjunto é um subespaço afim de dimensão 3.
  • Para uma representação do tipo p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} ser correta, é necessário que:
    1. p satisfaça 7p_{1}+p_{3}=-5 (é um ponto particular da hipersuperfície).
    2. Cada gerador v_{i} da parte linear satisfaça a equação homogênea associada 7v_{i1}+v_{i3}=0, de modo que somar qualquer combinação linear desses vetores não altere o valor de 7x_{1}+x_{3}.

Passo 2

Vou achar uma forma geral das soluções da equação 7x_{1}+x_{3}=-5 (essa é a teoria básica: resolver uma equação linear em várias variáveis dá uma família afim de dimensão igual ao nº de variáveis menos o nº de restrições).
Escolho variáveis livres para parametrizar: deixe
s:=x_{1},\qquad t:=x_{2},\qquad u:=x_{4}.
Então da equação temos
x_{3}=-5-7x_{1}=-5-7s.
Portanto o vetor solução geral é
\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s\t\\\ -5-7s\u\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -5\\\ 0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +u\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Aqui expliquei dois conceitos importantes:
  • Um vetor particular é p=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -5\\\ 0\end{pmatrix} (é obtido colocando s=t=u=0).
  • O espaço homogêneo (soluções de 7x_{1}+x_{3}=0) é gerado por \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Qualquer representação correta da solução deve ser uma tradução desse subespaço homogêneo por algum particular p que satisfaça a equação original.

Passo 3

Resumo canônico que usarei como referência:
\left\{\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{4}:7x_{1}+x_{3}=-5\right\} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -5\\\ 0\end{pmatrix} +\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Observação: é permitido trocar geradores por múltiplos não nulos ou combinar entre si, desde que o subespaço gerado seja o mesmo (por exemplo \begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} também gera a componente x_{2} porque é múltiplo de \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}).

Passo 4

Critério prático para checar as alternativas:
  1. Verificar se o vetor particular p da alternativa satisfaz 7p_{1}+p_{3}=-5.
  2. Verificar se cada vetor gerador v da alternativa satisfaz 7v_{1}+v_{3}=0. Se ambos os itens forem verdadeiros, a alternativa representa um conjunto contido no conjunto pedido e, como há três geradores linearmente independentes (ou geradores suficientes para um subespaço 3D), representa exatamente o conjunto pedido.
Vou aplicar esse critério às alternativas.

Passo 5

Testes das alternativas (para cada alternativa calculo 7p_{1}+p_{3} e, quando aplicável, 7v_{1}+v_{3} para os geradores):
(A) p=\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 9\\\ -1\end{pmatrix}.
7p_{1}+p_{3}=7(-2)+9=-14+9=-5,
logo p é particular válido. Agora o primeiro gerador é v_{1}=\begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}:
7v_{11}+v_{13}=7(-7)+1=-49+1=-48\neq0,
portanto v_{1} não está no espaço homogêneo e (A) falha.
(B) p=\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ -12\\\ 2\end{pmatrix}.
7p_{1}+p_{3}=7(-2)+(-12)=-14-12=-26\neq-5,
logo p não é particular da equação; (B) falha.
(C) p=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
7p_{1}+p_{3}=7(-1)+2=-7+2=-5,
p válido. Primeiro gerador v_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -7\end{pmatrix}
7\cdot0+0=0,
ok; segundo gerador v_{2}=\begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
7(-5)+0=-35\neq0,
logo (C) falha.
(D) p=\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 16\\\ 1\end{pmatrix}.
7p_{1}+p_{3}=7(-3)+16=-21+16=-5,
p válido. Mas o gerador v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}
7\cdot0+(-2)=-2\neq0,
logo (D) falha.
(E) p=\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 9\\\ -1\end{pmatrix}.
7p_{1}+p_{3}=7(-2)+9=-14+9=-5,
p válido. Verificar geradores:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix}:\quad 7\cdot1+(-7)=0,
v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}:\quad 7\cdot0+0=0,
v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -6\end{pmatrix}:\quad 7\cdot0+0=0.
Todos os geradores satisfazem a condição homogênea, logo (E) é candidata válida.
(F) p=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} (já vimos esse p é válido). Mas v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} 7\cdot0+(-1)=-1\neq0, então (F) falha.
(G) p=\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ -12\\\ 2\end{pmatrix} (já visto em (B) é inválido), logo (G) falha.
(H) p=\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 16\\\ 1\end{pmatrix} (já visto em (D) é válido), porém v_{2}=\begin{pmatrix}-4\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} 7(-4)+0=-28\neq0, logo (H) falha.
Depois desses cheques, apenas (E) passou ambas as condições.

Passo 6

Para consolidar: mostro que a alternativa (E) de fato descreve todas as soluções. Na (E) temos
p=\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 9\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix},\; v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -6\end{pmatrix}.
Para x=p+a v_{1}+b v_{2}+c v_{3} qualquer, calcule
7x_{1}+x_{3}=7(p_{1}+a\cdot1+b\cdot0+c\cdot0)+\bigl(p_{3}+a(-7)+b\cdot0+c\cdot0\bigr)
= (7p_{1}+p_{3}) + a(7\cdot1-7)= -5 + a\cdot0 = -5.
Portanto todo vetor dessa forma satisfaz a equação. Além disso, os geradores controlam livremente x_{1} (via a), x_{2} (via b, porque x_{2}=p_{2}+7b permite qualquer valor de x_{2} escolhendo b) e x_{4} (via c, porque x_{4}=p_{4}-6c permite qualquer valor de x_{4} escolhendo c). Assim, (E) gera exatamente o conjunto de todas as soluções.

Resposta

(E)

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