s^3+3,5 s^2+3,5 s+1+K c=0
Determine o ganho do controlador que leva o sistema para a condição de oscilação sustentada, assim como a frequência e o período de oscilação correspondentes a essa condição. Dado: as unidades de tempo estão em minutos.

Passo 1

Resumo do que temos: o enunciado dá a equação característica
s^3 + 3,5,s^2 + 3,5,s + 1 + Kc ;=;0
e pede o valor de que deixa o sistema em oscilação sustentada, mais a frequência e o período dessas oscilações (tempo em minutos).
Conteúdo: Critério de Routh–Hurwitz para encontrar a margem de estabilidade (raízes imag. puras) e depois extracão de frequência de oscilação a partir dos coeficientes do polinômio.

Passo 2

Montando a tabela de Routh para
a3=1, a2=3,5, a1=3,5, a0=1+Kc,
temos:
c|cc s^3 & 1 & 3,5 [6pt] s^2 & 3,5 & 1 + Kc [6pt] s^1 & 3,5cdot 3,5 - 1cdot(1+Kc)3,5 & 0 [8pt] s^0 & 1 + Kc &
O numerador da linha 3,5cdot3,5 ;-;(1+Kc) ;=;12,25 - (1+Kc) ;=;11,25 - Kc é
11,25 - Kc ;=;0 Longrightarrow Kc = 11,25
Para aparecer um par de raízes imaginárias (oscilação sustentada) essa linha deve zerar seu primeiro elemento:

Passo 3

Sabendo s^3 + 3,5,s^2 + 3,5,s + 12,25 = 0 , a equação fica
(s + a)(s^2 + omega^2) = s^3 + a,s^2 + omega^2,s + a,omega^2,
Em condição de oscilação sustentada, teremos um fator omega = raiz3,5approx 1,87;rad/min no polinômio. Se expandirmos
compare com os coeficientes:
a) (coef. de ),
b) (coef. de ),
c) (termo constante) – tudo bate certinho.
Logo

Passo 4

O período de oscilação é
T ;=;2piomega ;=;2piraiz3,5 ;approx;3,36;min

Resposta

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