Considere um sistema massa-mola amortecedor com k=4000 Nm, m=10 kg e c=40 Nsm. Determine a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema sob a força harmônica F(t)=200 cos 10 t N e as condições iniciais x0=0 m e dotx0=10 ms. Faça o gráfico mostrando a evolução da resposta total no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola amortecedor. A gente tem que encontrar como o sistema responde quando uma força harmônica é aplicada. Pra isso, vamos usar conhecimentos de Física e Matemática, mais especificamente de sistemas vibratórios e equações diferenciais. Precisaremos das constantes do sistema: a mola ( k = 4000 Nm), a massa ( m = 10 kg), e o coeficiente de amortecimento ( c = 40 Nsm). A força aplicada é F(t) = 200 cos(10 t) , N com condições iniciais de posição x0 = 0 , m e velocidade inicial dotx0 = 10 , ms.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do movimento para um sistema massa-mola amortecedor. Ela é dada por:
mddotx + cdotx + kx = F(t)
Aqui, ddotx é a aceleração, dotx é a velocidade, e x é a posição.

Passo 3

Substituindo os valores que temos na equação:
10ddotx + 40dotx + 4000x = 200 cos(10 t)
Vamos simplificar dividindo tudo por 10:
ddotx + 4dotx + 400x = 20 cos(10 t)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução homogênea (resposta total sem força externa) e da solução particular (resposta devido à força externa).

Passo 5

Vamos começar pela solução homogênea resolvendo a equação:
ddotx + 4dotx + 400x = 0
A equação característica é:
r^2 + 4r + 400 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para r:
r = -4 pm raiz16 - 16002 = -4 pm raiz-15842 = -2 pm j raiz396
Então, a solução homogênea é:
xh(t) = e^-2t(A cos(raiz396 t) + B sin(raiz396 t))

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular para a força F(t) = 20 cos(10 t). Assumimos que a solução particular tem a forma:
xp(t) = C cos(10 t) + D sin(10 t)
Derivando xp(t):
dotxp(t) = -10C sin(10 t) + 10D cos(10 t)
ddotxp(t) = -100C cos(10 t) - 100D sin(10 t)

Passo 7

Substituindo xp(t), dotxp(t) e ddotxp(t) na equação diferencial:
-100C cos(10 t) - 100D sin(10 t) + 4(-10C sin(10 t) + 10D cos(10 t)) + 400(C cos(10 t) + D sin(10 t)) = 20 cos(10 t)
Simplificando:
(-100C + 40D + 400C)cos(10 t) + (-100D - 40C + 400D)sin(10 t) = 20 cos(10 t)
Isso resulta em:
(300C + 40D)cos(10 t) + (300D - 40C)sin(10 t) = 20 cos(10 t)

Passo 8

Igualando os coeficientes das funções cosseno e seno:
300C + 40D = 20
300D - 40C = 0
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
300D = 40C Rightarrow D = 40300C = 215C
Substituindo na primeira equação:
300C + 40(215C) = 20
300C + 8015C = 20
300C + 163C = 20
(300 + 163)C = 20
900 + 163C = 20
9163C = 20 Rightarrow C = 20 times 3916 = 60916 = 15229
Então,
D = 215 times 15229 = 2229

Passo 9

Portanto, a solução particular é:
xp(t) = 15229 cos(10 t) + 2229 sin(10 t)

Passo 10

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = e^-2t(A cos(raiz396 t) + B sin(raiz396 t)) + 15229 cos(10 t) + 2229 sin(10 t)

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes A e B.
Quando t = 0:
x(0) = e^0(A cos(0) + B sin(0)) + 15229 cos(0) + 2229 sin(0) = A + 15229 = 0
Então,
A = -15229
Para a derivada, dotx(t):
dotx(t) = e^-2t[-2(A cos(raiz396 t) + B sin(raiz396 t)) + A(-raiz396) sin(raiz396 t) + B raiz396 cos(raiz396 t)] - 150229 sin(10 t) + 20229 cos(10 t)
Quando t = 0:
dotx(0) = -2A + B raiz396 + 20229 = 10
Substituindo A = -15229:
-2(-15229) + B raiz396 + 20229 = 10
30229 + B raiz396 + 20229 = 10
B raiz396 = 10 - 50229
B = 10 - 50229raiz396 = 2290 - 5022919.8997487 approx 2240229 times 19.8997487 approx 22404553 approx 0.4919

Passo 12

Agora temos todas as constantes, então a solução completa é:
x(t) = e^-2t(-15229 cos(raiz396 t) + 0.4919 sin(raiz396 t)) + 15229 cos(10 t) + 2229 sin(10 t)

Passo 13

Finalmente, para traçar o gráfico da resposta total no tempo, podemos usar ferramentas como Python, MATLAB ou até mesmo calculadoras gráficas. A resposta vai mostrar como o sistema vibra ao longo do tempo considerando tanto a resposta natural quanto a forçada.

Resposta

A resposta total do sistema é:
x(t) = e^-2t(-15229 cos(19.8997 t) + 0.4919 sin(19.8997 t)) + 15229 cos(10 t) + 2229 sin(10 t)
Esse gráfico vai mostrar a evolução da posição do sistema ao longo do tempo, combinando a resposta natural amortecida com a resposta forçada pela força harmônica aplicada.

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