Considere um sistema massa-mola amortecedor com
. Determine a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema sob a força harmônica
e as condições iniciais
e
. Faça o gráfico mostrando a evolução da resposta total no tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola amortecedor. A gente tem que encontrar como o sistema responde quando uma força harmônica é aplicada. Pra isso, vamos usar conhecimentos de Física e Matemática, mais especificamente de sistemas vibratórios e equações diferenciais. Precisaremos das constantes do sistema: a mola (
), a massa (
), e o coeficiente de amortecimento (
). A força aplicada é
com condições iniciais de posição
e velocidade inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do movimento para um sistema massa-mola amortecedor. Ela é dada por:
Aqui,
é a aceleração,
é a velocidade, e
é a posição.
Passo 3
Substituindo os valores que temos na equação:
Vamos simplificar dividindo tudo por 10:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução homogênea (resposta total sem força externa) e da solução particular (resposta devido à força externa).
Passo 5
Vamos começar pela solução homogênea resolvendo a equação:
A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Então, a solução homogênea é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular para a força
. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Derivando
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Isso resulta em:
Passo 8
Igualando os coeficientes das funções cosseno e seno:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Quando
:
Então,
Para a derivada,
:
Quando
:
Substituindo
:
Passo 12
Agora temos todas as constantes, então a solução completa é:
Passo 13
Finalmente, para traçar o gráfico da resposta total no tempo, podemos usar ferramentas como Python, MATLAB ou até mesmo calculadoras gráficas. A resposta vai mostrar como o sistema vibra ao longo do tempo considerando tanto a resposta natural quanto a forçada.
Resposta
A resposta total do sistema é:
Esse gráfico vai mostrar a evolução da posição do sistema ao longo do tempo, combinando a resposta natural amortecida com a resposta forçada pela força harmônica aplicada.