Considere um sistema massa-mola amortecedor com
. Determine a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema sob a força harmônica
e as condições iniciais
e
. Faça o gráfico mostrando a evolução da resposta total no tempo.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um sistema massa-mola amortecedor com os seguintes parâmetros:
- Constante da mola: $ k = 4000 , \frac{N}{m} $
- Massa: $ m = 10 , kg $
- Coeficiente de amortecimento: $ c = 40 , \frac{Ns}{m} $
Queremos determinar a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema quando submetido a uma força harmônica $ F(t) = 200 \cos(10t) , N $, com condições iniciais $ x_0 = 0,1 , m $ e $ \dot{x}_0 = 0 $. Além disso, precisamos fazer um gráfico mostrando como a resposta total evolui no tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica vibracional, especificamente das equações diferenciais que descrevem sistemas massa-mola-amortecedor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação diferencial que descreve o movimento desse sistema massa-mola amortecedor:
Aqui:
- $ \ddot{x}(t) $ é a aceleração,
- $ \dot{x}(t) $ é a velocidade,
- $ x(t) $ é o deslocamento,
- $ F(t) $ é a força externa aplicada.
Nosso objetivo é encontrar $ x(t) $, a posição em função do tempo.
Passo 3
Vamos começar encontrando a função de transferência do sistema, que nos ajuda a determinar a resposta em regime permanente.
A função de transferência $ H(\omega) $ para uma força harmônica $ F(t) = F_0 \cos(\omega t) $ é dada por:
onde:
- $ \omega $ é a frequência angular da força aplicada,
- $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 4
Agora, vamos calcular a amplitude da resposta em regime permanente. Para isso, precisamos encontrar o módulo de $ H(\omega) $:
Substituindo os valores dados:
- $ k = 4000 , \frac{N}{m} $
- $ m = 10 , kg $
- $ c = 40 , \frac{Ns}{m} $
- $ \omega = 10 , rad/s $
Passo 5
A força aplicada é $ F(t) = 200 \cos(10t) , N $, então a resposta em regime permanente $ x_{r.p.}(t) $ é:
Onde $ \phi $ é a fase, calculada por:
Calculando $ \phi $:
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial, que é a soma da resposta homogênea (resposta natural do sistema) e da resposta forçada (regime permanente):
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A equação característica é:
Substituindo os valores:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, a solução homogênea é:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
As condições são:
- $ x(0) = 0,1 , m $
- $ \dot{x}(0) = 0 $
Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
Agora, derivamos $ x(t) $ e aplicamos $ \dot{x}(0) = 0 $:
Avaliando em $ t = 0 $:
Passo 8
Agora temos todas as partes da solução total:
Esse é o comportamento completo do sistema, incluindo tanto a resposta natural quanto a forçada.
Passo 9
Para visualizar a evolução da resposta total no tempo, podemos plotar $ x(t) $ usando um software como o MATLAB, Python (com matplotlib), ou qualquer outra ferramenta de plotagem. O gráfico mostrará como o sistema reage inicialmente devido às condições iniciais e, com o tempo, a resposta em regime permanente passa a dominar.
Resposta
A resposta total do sistema é dada por:
E o gráfico da evolução dessa resposta ao longo do tempo mostrará a combinação da resposta natural amortecida com a resposta forçada em regime permanente.