Considere um sistema massa-mola amortecedor com k=4000 Nm, m=10 kg e c=40 Nsm. Determine a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema sob a força harmônica F(t)=200 cos 10 t N e as condições iniciais x0=0,1 m e dotx0=0. Faça o gráfico mostrando a evolução da resposta total no tempo.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um sistema massa-mola amortecedor com os seguintes parâmetros:
  • Constante da mola: $ k = 4000 , \frac{N}{m} $
  • Massa: $ m = 10 , kg $
  • Coeficiente de amortecimento: $ c = 40 , \frac{Ns}{m} $
Queremos determinar a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema quando submetido a uma força harmônica $ F(t) = 200 \cos(10t) , N $, com condições iniciais $ x_0 = 0,1 , m $ e $ \dot{x}_0 = 0 $. Além disso, precisamos fazer um gráfico mostrando como a resposta total evolui no tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica vibracional, especificamente das equações diferenciais que descrevem sistemas massa-mola-amortecedor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação diferencial que descreve o movimento desse sistema massa-mola amortecedor:
m ddotx(t) + c dotx(t) + k x(t) = F(t)
Aqui:
  • $ \ddot{x}(t) $ é a aceleração,
  • $ \dot{x}(t) $ é a velocidade,
  • $ x(t) $ é o deslocamento,
  • $ F(t) $ é a força externa aplicada.
Nosso objetivo é encontrar $ x(t) $, a posição em função do tempo.

Passo 3

Vamos começar encontrando a função de transferência do sistema, que nos ajuda a determinar a resposta em regime permanente.
A função de transferência $ H(\omega) $ para uma força harmônica $ F(t) = F_0 \cos(\omega t) $ é dada por:
H(omega)
onde:
  • $ \omega $ é a frequência angular da força aplicada,
  • $ i $ é a unidade imaginária.

Passo 4

Agora, vamos calcular a amplitude da resposta em regime permanente. Para isso, precisamos encontrar o módulo de $ H(\omega) $:
H(omega)
Substituindo os valores dados:
  • $ k = 4000 , \frac{N}{m} $
  • $ m = 10 , kg $
  • $ c = 40 , \frac{Ns}{m} $
  • $ \omega = 10 , rad/s $
|H(omega)| = 1raiz(k - m omega^2)^2 + (c omega)^2
k = 4000 , Nm

Passo 5

A força aplicada é $ F(t) = 200 \cos(10t) , N $, então a resposta em regime permanente $ x_{r.p.}(t) $ é:
F(t) = 200 cos(10t) , N
Onde $ \phi $ é a fase, calculada por:
xrp(t)
Calculando $ \phi $:
xrp(t) = |H(omega)| times F0 cos(omega t - phi)
phi
Portanto,
tan(phi) = c omegak - m omega^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial, que é a soma da resposta homogênea (resposta natural do sistema) e da resposta forçada (regime permanente):
x(t) = xhomogênea(t) + xrp(t) ê
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
m ddotx(t) + c dotx(t) + k x(t) = 0
A equação característica é:
m r^2 + c r + k = 0
Substituindo os valores:
10 r^2 + 40 r + 4000 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = -40 pm raiz40^2 - 4 times 10 times 40002 times 10 = -40 pm raiz1600 - 16000020
r = -40 pm raiz-15840020 = -40 pm i raiz15840020 = -40 pm i 39820 = -2 pm i 19.9
Portanto, a solução homogênea é:
xhomogênea(t) = e^-2t (A cos(19.9t) + B sin(19.9t)) ê

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
As condições são:
  • $ x(0) = 0,1 , m $
  • $ \dot{x}(0) = 0 $
Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
A
B
Agora, derivamos $ x(t) $ e aplicamos $ \dot{x}(0) = 0 $:
x(0) = 0,1 , m
Avaliando em $ t = 0 $:
dotx(0) = 0
t = 0

Passo 8

Agora temos todas as partes da solução total:
x(t) = e^-2t (0,034 cos(19.9t) + 0,0031 sin(19.9t)) + 0,0666 cos(10t - 7,53^circ)
Esse é o comportamento completo do sistema, incluindo tanto a resposta natural quanto a forçada.

Passo 9

Para visualizar a evolução da resposta total no tempo, podemos plotar $ x(t) $ usando um software como o MATLAB, Python (com matplotlib), ou qualquer outra ferramenta de plotagem. O gráfico mostrará como o sistema reage inicialmente devido às condições iniciais e, com o tempo, a resposta em regime permanente passa a dominar.

Resposta

A resposta total do sistema é dada por:
x(t) = e^-2t (0,034 cos(19,9t) + 0,0031 sin(19,9t)) + 0,0666 cos(10t - 7,53^circ) , m
E o gráfico da evolução dessa resposta ao longo do tempo mostrará a combinação da resposta natural amortecida com a resposta forçada em regime permanente.

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