(2) Uma partícula de massa
está em um plano
e sua posição é dada por um vetor
, onde
é o vetor unitário na direção de
. Deduza a expressão da velocidade
usando o sistema de coordenadas curvilíneas, ou seja, usando a base (
). Dica: use
, onde
e
são vetores unitários nas direções
e
respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede que eu deduza a expressão da velocidade
de uma partícula que se move no plano
, cuja posição é dada por
. O enunciado fornece a dica
onde
e
são os vetores unitários das direções
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta principal: deduzir
usando a base curvilínea
.
Passo 2
Vou escrever a posição em componentes cartesianas para poder derivar com calma. A partir da dica temos
Aqui
e
dependem do tempo
, então para obter a velocidade uso a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando
em relação a
:
Como
, então
Derivando
em relação a
:
Como
, então
Passo 3
A velocidade em base cartesiana é
Substituindo os resultados do passo anterior:
Passo 4
Agora introduzo explicitamente os vetores unitários da base polar em termos da base cartesiana:
Esses dois vetores formam uma base ortonormal (são perpendiculares e de norma 1). Vou tentar escrever
como combinação linear de
e
.
Considere a combinação
Substituo as expressões em termos de
:
Reagrupando coeficientes de
e
:
Esse resultado coincide exatamente com a expressão de
obtida no passo 3. Portanto podemos escrever
Passo 5
Para fixar bem a ideia, mostro um caminho alternativo (mais curto) que é muito usado: diferencio diretamente
aplicando a regra do produto:
Agora calculo
derivando suas componentes
e
:
Reconheço o lado direito como
, pois
. Logo
e assim
o mesmo resultado obtido antes. Também vale notar que
.
Passo 6
Interpretação física e pequena aplicação:
- O termo
é a componente radial (variação da distância ao origem). - O termo
é a componente tangencial (devida à variação angular).
A magnitude da velocidade é
Exemplo simples: movimento circular uniforme com
constante e
. Então