(2) Uma partícula de massa m está em um plano x y e sua posição é dada por um vetor \vec{\tau}=r \hat{e}_{\tau}, onde \hat{e_{r}} é o vetor unitário na direção de \vec{r}. Deduza a expressão da velocidade \vec{v} usando o sistema de coordenadas curvilíneas, ou seja, usando a base ( \hat{e_{r}}, \hat{e_{\theta}} ). Dica: use \vec{r}=r\left(\cos \theta \hat{e}_{x}+\operatorname{sen} \theta \hat{e}_{y}\right), onde \hat{e_{x}} e \hat{e_{y}} são vetores unitários nas direções x e y respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza a expressão da velocidade \vec{v} de uma partícula que se move no plano xy, cuja posição é dada por \vec{\tau}=r\hat{e}_{r}. O enunciado fornece a dica
\vec{r}=r\big(\cos\theta\,\hat{e}_{x}+\sin\theta\,\hat{e}_{y}\big),
onde \hat{e}_{x} e \hat{e}_{y} são os vetores unitários das direções x e y.
Informações relevantes fornecidas:
\text{posição: }\vec{r}=r\hat{e}_{r}\quad\text{com}\quad r=r(t),\\ \theta=\theta(t).çã
Pergunta principal: deduzir \vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt} usando a base curvilínea \big(\hat{e}_{r},\hat{e}_{\theta}\big).

Passo 2

Vou escrever a posição em componentes cartesianas para poder derivar com calma. A partir da dica temos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r e \theta dependem do tempo t, então para obter a velocidade uso a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando x em relação a t:
\dot{x}=\frac{d}{dt}(r\cos\theta)=\dot r\cos\theta + r\frac{d}{dt}(\cos\theta).
Como \dfrac{d}{dt}(\cos\theta)=-\sin\theta\,\dot\theta, então
\dot{x}=\dot r\cos\theta - r\sin\theta\,\dot\theta.
Derivando y em relação a t:
\dot{y}=\frac{d}{dt}(r\sin\theta)=\dot r\sin\theta + r\frac{d}{dt}(\sin\theta).
Como \dfrac{d}{dt}(\sin\theta)=\cos\theta\,\dot\theta, então
\dot{y}=\dot r\sin\theta + r\cos\theta\,\dot\theta.

Passo 3

A velocidade em base cartesiana é
\vec{v}=\dot{x}\,\hat{e}_{x}+\dot{y}\,\hat{e}_{y}.
Substituindo os resultados do passo anterior:
\vec{v}=\big(\dot r\cos\theta - r\sin\theta\,\dot\theta\big)\hat{e}_{x} +\big(\dot r\sin\theta + r\cos\theta\,\dot\theta\big)\hat{e}_{y}.

Passo 4

Agora introduzo explicitamente os vetores unitários da base polar em termos da base cartesiana:
\hat{e}_{r}=\cos\theta\,\hat{e}_{x}+\sin\theta\,\hat{e}_{y},
\hat{e}_{\theta}=-\sin\theta\,\hat{e}_{x}+\cos\theta\,\hat{e}_{y}.
Esses dois vetores formam uma base ortonormal (são perpendiculares e de norma 1). Vou tentar escrever \vec{v} como combinação linear de \hat{e}_{r} e \hat{e}_{\theta}.
Considere a combinação
\dot r\,\hat{e}_{r}+r\dot\theta\,\hat{e}_{\theta}.
Substituo as expressões em termos de \hat{e}_x,\hat{e}_y:
\dot r\big(\cos\theta\,\hat{e}_{x}+\sin\theta\,\hat{e}_{y}\big) + r\dot\theta\big(-\sin\theta\,\hat{e}_{x}+\cos\theta\,\hat{e}_{y}\big).
Reagrupando coeficientes de \hat{e}_x e \hat{e}_y:
\big(\dot r\cos\theta - r\dot\theta\sin\theta\big)\hat{e}_{x} +\big(\dot r\sin\theta + r\dot\theta\cos\theta\big)\hat{e}_{y}.
Esse resultado coincide exatamente com a expressão de \vec{v} obtida no passo 3. Portanto podemos escrever
\vec{v}=\dot r\,\hat{e}_{r}+r\dot\theta\,\hat{e}_{\theta}.

Passo 5

Para fixar bem a ideia, mostro um caminho alternativo (mais curto) que é muito usado: diferencio diretamente \vec{r}=r\hat{e}_{r} aplicando a regra do produto:
\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot r\,\hat{e}_{r}+r\frac{d\hat{e}_{r}}{dt}.
Agora calculo \dfrac{d\hat{e}_{r}}{dt} derivando suas componentes \cos\theta e \sin\theta:
\frac{d\hat{e}_{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\cos\theta\,\hat{e}_x+\sin\theta\,\hat{e}_y\big) =-\sin\theta\,\dot\theta\,\hat{e}_x+\cos\theta\,\dot\theta\,\hat{e}_y.
Reconheço o lado direito como \dot\theta\,\hat{e}_{\theta}, pois \hat{e}_{\theta}=-\sin\theta\,\hat{e}_x+\cos\theta\,\hat{e}_y. Logo
\frac{d\hat{e}_{r}}{dt}=\dot\theta\,\hat{e}_{\theta},
e assim
\vec{v}=\dot r\,\hat{e}_{r}+r\dot\theta\,\hat{e}_{\theta},
o mesmo resultado obtido antes. Também vale notar que \dfrac{d\hat{e}_{\theta}}{dt}=-\dot\theta\,\hat{e}_{r}.

Passo 6

Interpretação física e pequena aplicação:
  • O termo \dot r\,\hat{e}_{r} é a componente radial (variação da distância ao origem).
  • O termo r\dot\theta\,\hat{e}_{\theta} é a componente tangencial (devida à variação angular).
    A magnitude da velocidade é
\|\vec{v}\|=\sqrt{\dot r^{2}+(r\dot\theta)^{2}}.
Exemplo simples: movimento circular uniforme com r=R constante e \dot r=0. Então
\vec{v}=R\dot\theta\,\hat{e}_{\theta},\qquad \|\vec{v}\|=R\dot\theta.

Resposta

\displaystyle \vec{v}=\dot r\,\hat{e}_{r}+r\dot\theta\,\hat{e}_{\theta}

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