Considere um sistema massa-mola-amortecedor com m=1 \mathrm{~kg}, c=2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e k=2000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} com uma força impulso aplicada de 10.000 N por 0,01 \mathrm{~s}. Calcule a resposta resultante.
Passo 1
O enunciado pede a resposta no tempo x(t)\) de um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma força impulso retangular de amplitude \(10000\\ \mathrm{N}\) aplicada durante \(0{,}01\\ \mathrm{s}\). Os dados fornecidos são:
\[m=1\\ \mathrm{kg},\qquad c=2\\ \mathrm{kg/s},\qquad k=2000\\ \mathrm{N/m},
Note uma identidade útil: \zeta\omega_n=\dfrac{c}{2m}=\dfrac{2}{2\cdot1}=1\\ \mathrm{s^{-1}}. Assim a parte exponencial será e^{-t} — isso simplifica bastante as expressões.
Vou usar o método “resposta a um degrau (step) — diferença de degraus” (método padrão para pulsos retangulares): a força retangular é um degrau de amplitude F_0=10000 iniciado em t=0 e revertido (subtraído) em t=T_p=0{,}01. A resposta ao pulso é, então, a resposta ao degrau aplicado em t=0 menos a mesma resposta deslocada no tempo a partir de t=T_p.
Primeiro, obtenho a resposta ao degrau de amplitude F_0 aplicado em t=0. A solução particular constante para o degrau é x_p=F_0/k. Com condições iniciais nulas a solução total é
x_{\text{step}}(t)=\frac{F_0}{k}+x_h(t),
onde x_h(t) é a solução homogênea ajustada para satisfazer as condições iniciais.
Explicando a fórmula: o termo \dfrac{F_0}{k} é o deslocamento estático; a parte subtraída é a resposta transitória amortecida que começa em valor tal que x(0)=0.
Passo 4
Agora aplico o princípio de superposição para obter a resposta ao pulso retangular: seja T_p=0{,}01\\ \mathrm{s}. Para todo t\ge0:
Se 0\le t\le T_p então a força é exatamente o degrau aplicado em t=0, então
Essas expressões são as formas finais da resposta temporal. Na prova, para calcular valores numéricos em tempos específicos, basta substituir t nas fórmulas acima e avaliar as funções trigonométricas e exponenciais; se pedir gráfico, você pode plotar essas duas expressões (uma válida até 0{,}01 e a outra para t>0{,}01).