Considere um sistema massa-mola-amortecedor com m=1 \mathrm{~kg}, c=2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e k=2000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} com uma força impulso aplicada de 10.000 N por 0,01 \mathrm{~s}. Calcule a resposta resultante.

Passo 1

O enunciado pede a resposta no tempo x(t)\) de um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma força impulso retangular de amplitude \(10000\\ \mathrm{N}\) aplicada durante \(0{,}01\\ \mathrm{s}\). Os dados fornecidos são: \[m=1\\ \mathrm{kg},\qquad c=2\\ \mathrm{kg/s},\qquad k=2000\\ \mathrm{N/m},
\text{força } f(t)=\begin{cases}10000,\\ &0\le t\le 0{,}01,\\[4pt]0,\\ &t>0{,}01,\end{cases}ç
Vou assumir, porque o enunciado não diz o contrário (e isto é padrão), condições iniciais nulas:
x(0)=0,\qquad \dot{x}(0)=0.
Aqui a tarefa é obter x(t)\] para todo \(t\ge0 (resposta resultante), explicando passo a passo.]

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento (força externa positiva no lado direito):
m\ddot{x}(t)+c\dot{x}(t)+k x(t)=f(t).
Expliquei cada termo:
  • m é a massa (kg), \ddot{x} é a aceleração (m/s^2).
  • c é o coeficiente de amortecimento (kg/s), \dot{x} é a velocidade.
  • k é a rigidez da mola (N/m), x é o deslocamento (m).
  • f(t) é a força externa (N).
Calculamos as quantidades dinâmicas usuais:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{2000}=\sqrt{2000}\\ \mathrm{rad/s},
\zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}=\frac{2}{2\sqrt{2000}}=\frac{1}{\sqrt{2000}}.
Note uma identidade útil: \zeta\omega_n=\dfrac{c}{2m}=\dfrac{2}{2\cdot1}=1\\ \mathrm{s^{-1}}. Assim a parte exponencial será e^{-t} — isso simplifica bastante as expressões.
A frequência amortecida é
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=\sqrt{\omega_n^2-(\zeta\omega_n)^2}=\sqrt{2000-1}=\sqrt{1999}\\ \mathrm{rad/s}.
Números aproximados úteis:
\omega_n\approx 44{,}72135955,\qquad \omega_d\approx \sqrt{1999}\approx 44{,}71017778,
\zeta\approx 0{,}02236068,\qquad \zeta\omega_n=1.

Passo 3

Vou usar o método “resposta a um degrau (step) — diferença de degraus” (método padrão para pulsos retangulares): a força retangular é um degrau de amplitude F_0=10000 iniciado em t=0 e revertido (subtraído) em t=T_p=0{,}01. A resposta ao pulso é, então, a resposta ao degrau aplicado em t=0 menos a mesma resposta deslocada no tempo a partir de t=T_p.
Primeiro, obtenho a resposta ao degrau de amplitude F_0 aplicado em t=0. A solução particular constante para o degrau é x_p=F_0/k. Com condições iniciais nulas a solução total é
x_{\text{step}}(t)=\frac{F_0}{k}+x_h(t),
onde x_h(t) é a solução homogênea ajustada para satisfazer as condições iniciais.
Resolvo rapidamente para as constantes: propondo
x_{\text{step}}(t)=\frac{F_0}{k}+e^{-\zeta\omega_n t}\big(C\cos(\omega_d t)+D\sin(\omega_d t)\big).
Impondo x(0)=0
0=\frac{F_0}{k}+C\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{F_0}{k}.
Impondo \dot{x}(0)=0 e lembrando que \zeta\omega_n=1 e \omega_d=\sqrt{1999} conduz a
0=-\zeta\omega_n C + D\omega_d \quad\Rightarrow\quad D=\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}C.
Substituindo C obtemos
D=-\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}\frac{F_0}{k}=-\frac{1}{\omega_d}\frac{F_0}{k}\cdot(\zeta\omega_n).
Como \zeta\omega_n=1 isso simplifica bem.
Portanto a resposta ao degrau (para t\ge0) pode ser escrita em forma conveniente (fórmula padrão para subamortecido):
x_{\text{step}}(t)=\frac{F_0}{k}\Bigg[1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\,e^{-\zeta\omega_n t}\sin\big(\omega_d t-\theta\big)\Bigg],
onde o ângulo de fase \theta é definido por
\theta=\operatorname{arccos}(\zeta).
Explicando a fórmula: o termo \dfrac{F_0}{k} é o deslocamento estático; a parte subtraída é a resposta transitória amortecida que começa em valor tal que x(0)=0.

Passo 4

Agora aplico o princípio de superposição para obter a resposta ao pulso retangular: seja T_p=0{,}01\\ \mathrm{s}. Para todo t\ge0:
  • Se 0\le t\le T_p então a força é exatamente o degrau aplicado em t=0, então
x(t)=x_{\text{step}}(t)\quad\text{para }0\le t\le T_p.
  • Se t>T_p então a força é o degrau aplicado em t=0 menos o mesmo degrau aplicado em t=T_p. Pela propriedade de deslocamento no tempo:
x(t)=x_{\text{step}}(t)-x_{\text{step}}(t-T_p)\quad\text{para }t>T_p.
Essas duas expressões juntas dão a resposta completa para todo t\ge0.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos e simplifico as constantes para deixar a expressão pronta para uso na prova. Primeiro a amplitude estática:
\frac{F_0}{k}=\frac{10000}{2000}=5\\ \mathrm{m}.
Também usamos as identidades já encontradas:
\zeta=\frac{1}{\sqrt{2000}},\qquad \zeta\omega_n=1,\qquad \omega_d=\sqrt{1999}.
O fator \dfrac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\dfrac{\omega_n}{\omega_d}=\sqrt{\dfrac{2000}{1999}}.
Logo a resposta fica, de forma explícita:
Para 0\le t\le 0{,}01:
x(t)=5\left[1-\sqrt{\frac{2000}{1999}}\;e^{-t}\sin\!\big(\sqrt{1999}\,t-\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2000}}\big)\big)\right].
Para t>0{,}01:
x(t)=5\Bigg[1-\sqrt{\frac{2000}{1999}}\;e^{-t}\sin\!\big(\sqrt{1999}\,t-\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2000}}\big)\big)\Bigg] \;-\;5\Bigg[1-\sqrt{\frac{2000}{1999}}\;e^{-(t-0{,}01)}\sin\!\big(\sqrt{1999}\,(t-0{,}01)-\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2000}}\big)\big)\Bigg].
Se preferir números aproximados (úteis para cálculo rápido), os parâmetros numéricos são:
\omega_d\approx 44{,}71017778,\qquad \operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2000}}\big)\approx 1{,}548435\\ \text{rad},
e portanto, de forma aproximada:
Para 0\le t\le 0{,}01:
x(t)\approx 5\left[1-1{,}00025\;e^{-t}\sin\big(44{,}71018\,t-1{,}548435\big)\right].
Para t>0{,}01:
\begin{aligned} x(t)\approx\\ &5\Big[1-1{,}00025\;e^{-t}\sin(44{,}71018\,t-1{,}548435)\Big]\\\ &-5\Big[1-1{,}00025\;e^{-(t-0{,}01)}\sin\big(44{,}71018\,(t-0{,}01)-1{,}548435\big)\Big]. \end{aligned}
Essas expressões são as formas finais da resposta temporal. Na prova, para calcular valores numéricos em tempos específicos, basta substituir t nas fórmulas acima e avaliar as funções trigonométricas e exponenciais; se pedir gráfico, você pode plotar essas duas expressões (uma válida até 0{,}01 e a outra para t>0{,}01).

Resposta

\text{Para }0\le t\le 0{,}01:\qquad x(t)=5\left[1-\sqrt{\frac{2000}{1999}}\,e^{-t}\sin\!\Big(\sqrt{1999}\,t-\operatorname{arccos}\!\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2000}}\Big)\Big)\right].
\text{Para }t>0{,}01:\qquad \begin{aligned} x(t)=&\,5\Big[1-\sqrt{\frac{2000}{1999}}\,e^{-t}\sin\!\Big(\sqrt{1999}\,t-\operatorname{arccos}\!\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2000}}\Big)\Big)\Big]\\[4pt] &-5\Big[1-\sqrt{\frac{2000}{1999}}\,e^{-(t-0{,}01)}\sin\!\Big(\sqrt{1999}\,(t-0{,}01)-\operatorname{arccos}\!\Big(\tfrac{1}{\sqrt{2000}}\Big)\Big)\Big]. \end{aligned}]

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