Considere um sistema massa-mola descrito pela EDO:
Resolva a EDO para
e
Resolva a EDO para
Passo 1
A questão nos dá a EDO massa-mola de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
x’’ + 2 x’ + 10 x = 0
com condições iniciais x(0)=1 e x’(0)=0. O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem, e vamos precisar montar a equação característica, achar suas raízes, escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Montamos a equação característica trocando x por e^{rt}, o que dá
Resolvendo-a,
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas indicando regime subamortecido.
Passo 3
Para raízes complexas
, a solução geral é
Aqui
e
, logo
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
x(0)=1 \implies e^0(C_1\cdot1 + C_2\cdot0)=1 \implies C_1=1.
Em seguida derivamos:
Logo,
x’(0)=0 \implies -C_1 + 3C_2 = 0 \implies -1 + 3C_2 = 0 \implies C_2 = \tfrac13.
Com isso temos os valores numéricos das constantes que definem a solução geral.