Considere um sistema massa-mola descrito pela EDO:
x^prime prime+2 x^prime+10 x=0
Resolva a EDO para x(0)=1 e x^prime(0)=0

Passo 1

A questão nos dá a EDO massa-mola de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
x’’ + 2 x’ + 10 x = 0
com condições iniciais x(0)=1 e x’(0)=0. O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem, e vamos precisar montar a equação característica, achar suas raízes, escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Montamos a equação característica trocando x por e^{rt}, o que dá
r^2 + 2r + 10 = 0
Resolvendo-a,
r = -2 pm raiz4 - 402 = -1 pm 3i
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas indicando regime subamortecido.

Passo 3

Para raízes complexas r = alpha pm ibeta, a solução geral é
x(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t) + C2sin(beta t)r)
Aqui alpha = -1 e beta = 3, logo
x(t) = e^-tl(C1cos(3t) + C2sin(3t)r)

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
x(0)=1 \implies e^0(C_1\cdot1 + C_2\cdot0)=1 \implies C_1=1.
Em seguida derivamos:
x'(t) = -e^-t(C1cos3t + C2sin3t) + e^-t(-3C1sin3t + 3C2cos3t)
Logo,
x’(0)=0 \implies -C_1 + 3C_2 = 0 \implies -1 + 3C_2 = 0 \implies C_2 = \tfrac13.
Com isso temos os valores numéricos das constantes que definem a solução geral.

Resposta

x(t) = e^-tl(cos(3t) + tfrac13sin(3t)r)

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