Resolva a EDO não homogênea usando o método da variação dos parâmetros:
y^prime prime+y=tan t

Passo 1

Resumo do enunciado: a EDO é y''+y=tan t. Vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução geral de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo,
yh(t)=C1cos t+C2sin t

Passo 3

No método da variação dos parâmetros escolhemos duas soluções fundamentais y1=cos t e y2=sin t. A forma da solução particular é
yp(t)=u1(t)cos t+u2(t)sin t,
onde u1 e u2 satisfazem o sistema
u1'(t),y1(t)+u2'(t),y2(t)=0,u1'(t),y1'(t)+u2'(t),y2'(t)=tan t

Passo 4

Calcular o Wronskiano das soluções fundamentais:
W(t)=cos t & sin t-sin t & cos t=cos^2t+sin^2t=1

Passo 5

Usar as fórmulas de variação dos parâmetros:
u1'(t)=-tan t,y2(t)W(t)=-tan t,sin t=-sin^2tcos t,u2'(t)=tan t,y1(t)W(t)=tan t,cos t=sin t

Passo 6

Integrar para obter u1 e u2:
u1(t)=integral -sin^2tcos t,dt=integral(-sec t+cos t),dt=-ln|sec t+tan t|+sin t,u2(t)=integralsin t,dt=-cos t

Passo 7

Construir a solução particular e simplificar:
yp(t)=l(-ln|sec t+tan t|+sin tr)cos t+(-cos t)sin t=-cos t,ln|sec t+tan t|

Passo 8

A solução geral da EDO é a soma de yh e yp.

Resposta

y(t)=C1cos t+C2sin t-cos t,ln|sec t+tan t|

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