Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={π-x, 0<x<π 0, x>π. Considere f impar

Passo 1

O enunciado pede a representação por integral de Fourier da função
i) definida por
f(x)=
{π−x, 0<x<π
0, x>π
ii) sendo estendida como função ímpar ao longo de todo o eixo. O conteúdo aqui é a transformada de Fourier de funções ímpares – ou seja, transformada seno –, e vamos usar essa teoria para chegar à fórmula integral que reproduz f(x).

Passo 2

Como f é estendida de modo ímpar, sua representação por integral de Fourier só envolve senos. A teoria diz que, nesse caso, se definirmos
b(ω)=∫_{0}^{∞} f(t)
sin(ωt)
dt,
então para x real vale
f(x)=
2piintegral0^infty b(ω),sin(ωx),dω.

Passo 3

Agora calculamos o coeficiente b(ω):
b(ω)=∫_{0}^{π} (π−t)
\sin(ωt)
dt.
Fazendo integração por partes:
u=π−t,\quad dv=\sin(ωt)dt
⇒ du=−dt,\quad v=−\frac{\cos(ωt)}{ω}.
Logo
b(ω)= (π−t)l(−cos(ωt)ωr)|0^π - integral0^π l(−cos(ωt)ωr)(−1),dt.
Avaliando os termos e simplificando obtemos
b(ω)=πω-sin(ωπ)ω^2

Passo 4

Substituindo b(ω) na fórmula da transformada seno, a representação final fica:
f(x)=2piintegral0^infty l(πω-sin(ωπ)ω^2r)sin(ωx),dω

Passo 5

Essa integral reproduz a função f(x) para todo x, com a extensão ímpar construída.

Resposta

f(x)=2piintegral0^inftyl(πω-sin(ωπ)ω^2r)sin(ωx),dω

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