Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={π-x, 0<x<π 0, x>π. Considere f impar
f(x)={π-x, 0<x<π 0, x>π. Considere f impar
Passo 1
O enunciado pede a representação por integral de Fourier da função
i) definida por
i) definida por
f(x)=
{π−x, 0<x<π
0, x>π
{π−x, 0<x<π
0, x>π
ii) sendo estendida como função ímpar ao longo de todo o eixo. O conteúdo aqui é a transformada de Fourier de funções ímpares – ou seja, transformada seno –, e vamos usar essa teoria para chegar à fórmula integral que reproduz f(x).
Passo 2
Como f é estendida de modo ímpar, sua representação por integral de Fourier só envolve senos. A teoria diz que, nesse caso, se definirmos
b(ω)=∫_{0}^{∞} f(t)
sin(ωt)
dt,
sin(ωt)
dt,
então para x real vale
f(x)=
Passo 3
Agora calculamos o coeficiente b(ω):
b(ω)=∫_{0}^{π} (π−t)
\sin(ωt)
dt.
\sin(ωt)
dt.
Fazendo integração por partes:
u=π−t,\quad dv=\sin(ωt)dt
⇒ du=−dt,\quad v=−\frac{\cos(ωt)}{ω}.
Logo
Avaliando os termos e simplificando obtemos
Passo 4
Substituindo b(ω) na fórmula da transformada seno, a representação final fica:
Passo 5
Essa integral reproduz a função f(x) para todo x, com a extensão ímpar construída.