Considere um sistema massa-mola onde a mola é esticada a uma distância de 5 cm e em seguida o sistema é liberado para oscilar em um MHS. Supondo que o sistema tenha oscilado 200 vezes em 1 minuto, responda qual é
(a) o Período
(b) função horária
(c) a velocidade do corpo no instante 7s?
(a) o Período
(b) função horária
(c) a velocidade do corpo no instante 7s?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas a seguir:
- Informação 1: A mola é esticada a uma distância de
e em seguida o sistema é liberado a partir do repouso. - Informação 2: O sistema oscilou
vezes em minuto.
Perguntas pedidas:
(a) Qual é o período da oscilação?
(b) Qual é a função horária da posição (ou seja,
em função do tempo)?
(c) Qual é a velocidade do corpo no instante ?
(a) Qual é o período
(b) Qual é a função horária da posição
(c) Qual é a velocidade do corpo no instante
Passo 2
Entender o que são período e frequência — fórmulas básicas e como obter a frequência a partir dos dados.
- Definição rápida: a frequência
é o número de oscilações por unidade de tempo, e o período é o tempo de uma oscilação. As relações são
Aqui
é o número de oscilações e
o intervalo de tempo observado.
- Aplicando aos números do enunciado: foram
oscilações em . Então
- Agora o período:
Passo 3
Relacionar frequência e pulsação (frequência angular) e calcular
, que aparecerá na função horária.
- Fórmula de ligação:
, onde é a pulsação (em rad/s), a frequência (em Hz). - Substituindo
:
Passo 4
Escolher a forma da função horária para MHS e explicar cada parâmetro.
- Para um movimento harmônico simples (MHS) a posição em função do tempo tem a forma geral
onde:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento a partir da posição de equilíbrio), em metros; -
é a pulsação (em rad/s); -
é a fase inicial (em rad), que ajusta a posição e velocidade iniciais. -
No enunciado: a mola foi esticada
e solta a partir do repouso. Isso significa: - Amplitude
. - Condição inicial
. - Condição inicial de velocidade
(liberado do repouso).
- Amplitude
-
Usando
: como , isso dá , logo (ou , o que é equivalente). A condição é consistente com .
Passo 5
Escrever a função horária final da posição
usando os valores calculados.
- Substituindo
, e , obtemos:
- Alternativamente, escrevendo em função da frequência
:
Passo 6
Obter a expressão da velocidade
(derivada de
) — fórmula e cálculo.
- Derivando
:
- Com
, e :
- Simplificando o fator numérico
, fica
Passo 7
Calcular a velocidade no instante
. Fazer redução do argumento do seno usando periodicidade.
- Primeiro calcular o argumento
em :
- Reduzir
módulo : note que . Então
pois
. Portanto
-
Sabemos que
. -
Substituindo em
:
- Valor numérico aproximado:
Resposta
(a)
(b)
(c)