Considere um sistema massa-mola onde a mola é esticada a uma distância de 5 cm e em seguida o sistema é liberado para oscilar em um MHS. Supondo que o sistema tenha oscilado 200 vezes em 1 minuto, responda qual é
(a) o Período
(b) função horária
(c) a velocidade do corpo no instante 7s?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas a seguir:
  • Informação 1: A mola é esticada a uma distância de 5\\ \text{cm} e em seguida o sistema é liberado a partir do repouso.
  • Informação 2: O sistema oscilou 200 vezes em 1 minuto.
Perguntas pedidas:
(a) Qual é o período T da oscilação?
(b) Qual é a função horária da posição x(t) (ou seja, x em função do tempo)?
(c) Qual é a velocidade do corpo no instante t=7\\ \text{s}?

Passo 2

Entender o que são período e frequência — fórmulas básicas e como obter a frequência a partir dos dados.
  • Definição rápida: a frequência f é o número de oscilações por unidade de tempo, e o período T é o tempo de uma oscilação. As relações são
f=\frac{N}{\Delta t},\qquad T=\frac{1}{f}.
Aqui N é o número de oscilações e \Delta t o intervalo de tempo observado.
  • Aplicando aos números do enunciado: foram N=200 oscilações em \Delta t=1\\ \text{min}=60\\ \text{s}. Então
f=\frac{200}{60}=\frac{10}{3}\\ \text{Hz}\approx3,333\\ \text{Hz}.
  • Agora o período:
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{10/3}=\frac{3}{10}=0{,}3\\ \text{s}.

Passo 3

Relacionar frequência e pulsação (frequência angular) e calcular \omega, que aparecerá na função horária.
  • Fórmula de ligação: \omega=2\pi f, onde \omega é a pulsação (em rad/s), f a frequência (em Hz).
  • Substituindo f=\dfrac{10}{3}:
\omega=2\pi\cdot\frac{10}{3}=\frac{20\pi}{3}\\ \text{rad/s}\approx20{,}943951\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Escolher a forma da função horária para MHS e explicar cada parâmetro.
  • Para um movimento harmônico simples (MHS) a posição em função do tempo tem a forma geral
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento a partir da posição de equilíbrio), em metros;
  • \omega é a pulsação (em rad/s);
  • \varphi é a fase inicial (em rad), que ajusta a posição e velocidade iniciais.
  • No enunciado: a mola foi esticada 5\\ \text{cm} e solta a partir do repouso. Isso significa:
    • Amplitude A=5\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m}.
    • Condição inicial x(0)=A=0{,}05\\ \text{m}.
    • Condição inicial de velocidade v(0)=0 (liberado do repouso).
  • Usando x(0)=A\cos\varphi=0{,}05: como A=0{,}05, isso dá \cos\varphi=1, logo \varphi=0 (ou 2\pi k, o que é equivalente). A condição v(0)= -A\omega\sin\varphi=0 é consistente com \varphi=0.

Passo 5

Escrever a função horária final da posição x(t) usando os valores calculados.
  • Substituindo A=0{,}05\\ \text{m}, \omega=\dfrac{20\pi}{3}\\ \text{rad/s} e \varphi=0, obtemos:
x(t)=0{,}05\cos\!\left(\frac{20\pi}{3}t\right)\\ \text{(metros)}.
  • Alternativamente, escrevendo em função da frequência f:
x(t)=0{,}05\cos\!\left(2\pi\cdot\frac{10}{3}\,t\right).

Passo 6

Obter a expressão da velocidade v(t) (derivada de x(t)) — fórmula e cálculo.
  • Derivando x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • Com A=0{,}05, \omega=\dfrac{20\pi}{3} e \varphi=0:
v(t)=-0{,}05\cdot\frac{20\pi}{3}\sin\!\left(\frac{20\pi}{3}t\right).
  • Simplificando o fator numérico 0{,}05\cdot20=1, fica
v(t)=-\frac{\pi}{3}\sin\!\left(\frac{20\pi}{3}t\right)\\ \text{(m/s)}.

Passo 7

Calcular a velocidade no instante t=7\\ \text{s}. Fazer redução do argumento do seno usando periodicidade.
  • Primeiro calcular o argumento \omega t em t=7:
\omega t=\frac{20\pi}{3}\cdot 7=\frac{140\pi}{3}\\ \text{rad}.
  • Reduzir \dfrac{140\pi}{3} módulo 2\pi: note que 2\pi=\dfrac{6\pi}{3}. Então
\frac{140\pi}{3}=23\cdot 2\pi + \frac{2\pi}{3},
pois \dfrac{140}{3}=23\cdot 2 + \dfrac{2}{3}. Portanto
\sin\!\left(\frac{140\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right).
  • Sabemos que \sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Substituindo em v(t):
v(7)=-\frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\pi\sqrt{3}}{6}\\ \text{m/s}.
  • Valor numérico aproximado:
v(7)\approx-0{,}9069\\ \text{m/s}\\ (\text{aprox. }-0{,}907\\ \text{m/s}).

Resposta

(a) T=0{,}3\\ \text{s}
(b) x(t)=0{,}05\cos\!\left(\dfrac{20\pi}{3}t\right)\\ \text{m}
(c) v(7)=-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{6}\\ \text{m/s}\approx-0{,}907\\ \text{m/s}

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