\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x{3}-64}{x{2}-16}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to 4} \frac{x^{3}-64}{x^{2}-16}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é o polinômio \,x^{3}-64.
  • O denominador é o polinômio \,x^{2}-16.
  • Se substituirmos x=4 diretamente, obtemos \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso indica que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Vamos usar fatoração para eliminar a indeterminação. Primeiro, algumas fórmulas úteis que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Diferença de quadrados: para quaisquer números a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a e b são simplesmente os termos cujos quadrados aparecem.
  • Diferença de cubos: para quaisquer números a e b,
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Nessa fórmula, a e b são os termos cujos cubos aparecem.
Vou aplicar essas fórmulas com a=x e b=4 (porque 64=4^{3} e 16=4^{2}).

Passo 3

Fatoremos numerador e denominador:
x^{3}-64 = x^{3}-4^{3} = (x-4)\bigl(x^{2}+4x+16\bigr),
x^{2}-16 = x^{2}-4^{2} = (x-4)(x+4).
Substituindo na fração original temos
\frac{x^{3}-64}{x^{2}-16} = \frac{(x-4)\bigl(x^{2}+4x+16\bigr)}{(x-4)(x+4)}.
Como x\neq4 na vizinhança do limite (estamos apenas aproximando 4), podemos cancelar o fator comum (x-4):
\frac{x^{3}-64}{x^{2}-16} = \frac{x^{2}+4x+16}{x+4}\quad\text{para }x\neq4.

Passo 4

Agora a expressão simplificada é uma função que é contínua em x=4, então podemos avaliar o limite substituindo x=4:
Calcule o numerador em x=4:
x^{2}+4x+16\Big|_{x=4} = 4^{2}+4\cdot4+16 = 16+16+16 = 48.
Calcule o denominador em x=4:
x+4\Big|_{x=4} = 4+4 = 8.
Portanto
\lim_{x \to 4} \frac{x^{3}-64}{x^{2}-16} = \frac{48}{8} = 6.

Passo 5

Observação adicional (opcional): outra maneira de chegar ao mesmo resultado é usar a regra de L’Hôpital, válida quando temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(x^{3}-64)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}(x^{2}-16)=2x.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to4}\frac{x^{3}-64}{x^{2}-16}=\lim_{x\to4}\frac{3x^{2}}{2x}=\frac{3\cdot4^{2}}{2\cdot4}=\frac{48}{8}=6.
Escolhi a fatoração como método principal porque é mais elementar e rápido para polinômios; L’Hôpital confirma o mesmo resultado.

Resposta

6

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