(3 x y-4 y) d x+\left(2 x^{2}-4 x\right) d y=0, dado x>0 e y>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3 x y-4 y)\,dx+\left(2 x^{2}-4 x\right)\,dy=0,
com as informações adicionais x>0 e y>0. O que se pede é encontrar a solução geral dessa equação diferencial (uma relação implícita entre x e y que satisfaça a equação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • M(x,y)=3xy-4y é o coeficiente de dx.
  • N(x,y)=2x^{2}-4x é o coeficiente de dy.
  • Domínio indicado: x>0, y>0.

Passo 2

Primeiro teste: verificar se a equação é exata. Para isso calculo as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=3x-4, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=4x-4.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} em geral (por exemplo, (3x-4) não é igual a (4x-4)), a equação não é exata na forma dada. Então vou tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Dica prática para fator integrante dependendo só de x: se a quantidade
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}
depender apenas de x, então existe um fator integrante do tipo \mu(x)=\exp\!\Big(\int f(x)\,dx\Big), onde f(x) é essa quantidade.
Calculo essa quantidade:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=(3x-4)-(4x-4)=-x,
então
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{-x}{2x^{2}-4x}.
Fatorando 2x^{2}-4x=2x(x-2) obtemos
\frac{-x}{2x(x-2)}=-\frac{1}{2(x-2)}.
Isso depende apenas de x, portanto existe um fator integrante \mu(x) dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{2(x-2)}\,dx\right).
Faço a integral:
\int -\frac{1}{2(x-2)}\,dx=-\tfrac{1}{2}\ln|x-2|.
Logo posso tomar (usando a forma sem valor absoluto para o caso real x>2; veremos a observação de domínio depois)
\mu(x)=(x-2)^{-1/2}.

Passo 4

Multiplico toda a equação por \mu(x)=(x-2)^{-1/2}. Os novos coeficientes são
M^*(x,y)=\frac{3xy-4y}{(x-2)^{1/2}},\qquad N^*(x,y)=\frac{2x^{2}-4x}{(x-2)^{1/2}}.
Agora verifico exatidão: calculemos
\frac{\partial M^*}{\partial y}=\frac{3x-4}{(x-2)^{1/2}}.
Para \partial N^*/\partial x uso a regra do produto (ou derivada de quociente), obtendo depois de simplificar
\frac{\partial N^*}{\partial x}=\frac{3x^{2}-10x+8}{(x-2)^{3/2}}.
Note que
\frac{3x^{2}-10x+8}{(x-2)^{3/2}}=\frac{(3x-4)(x-2)}{(x-2)^{3/2}}=\frac{3x-4}{(x-2)^{1/2}}.
Portanto
\frac{\partial M^*}{\partial y}=\frac{\partial N^*}{\partial x},
ou seja, após multiplicar por \mu(x) a equação ficou exata. Bom sinal — vamos achar a função potencial.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M^*(x,y)=\frac{(3x-4)y}{(x-2)^{1/2}}.
Integro em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=y\int\frac{3x-4}{(x-2)^{1/2}}\,dx + h(y).
Faço a substituição u=x-2 (então du=dx e 3x-4=3(u+2)-4=3u+2) para avaliar a integral:
\int\frac{3x-4}{(x-2)^{1/2}}\,dx=\int(3u+2)u^{-1/2}\,du =\int\big(3u^{1/2}+2u^{-1/2}\big)\,du.
Integro termo a termo:
\int 3u^{1/2}\,du=3\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=2u^{3/2}, \qquad \int 2u^{-1/2}\,du=2\cdot 2 u^{1/2}=4u^{1/2}.
Somando e voltando a x (lembrando u=x-2):
\int\frac{3x-4}{(x-2)^{1/2}}\,dx=2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}.
Portanto a função potencial vale
\Phi(x,y)=y\big(2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}\big)+h(y).

Passo 6

Agora imponho \dfrac{\partial\Phi}{\partial y}=N^*(x,y). Calculo
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}+h'(y).
Mas temos
N^*(x,y)=\frac{2x^{2}-4x}{(x-2)^{1/2}}.
Igualando \Phi_y=N^* e isolando h'(y):
h'(y)=\frac{2x^{2}-4x}{(x-2)^{1/2}}-\big(2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}\big).
Colocando os termos sobre o mesmo denominador (x-2)^{1/2} e simplificando, o lado direito anula-se (as dependências em x cancelam), ficando h'(y)=0. Logo h(y) é constante, digamos h(y)=C.
Assim a função potencial (até constante) é
\Phi(x,y)=2y(x-2)^{3/2}+4y(x-2)^{1/2}.
Fatorando (x-2)^{1/2} obtemos uma forma mais simples:
\Phi(x,y)=2xy(x-2)^{1/2}.
A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)= constante.

Passo 7

Concluo que a solução geral implícita é
2x y \sqrt{x-2}=C,
onde C é constante arbitrária. Observação sobre domínio: a expressão com \sqrt{x-2} é real para x\ge 2. Como o enunciado informou x>0, para ter solução real e contínua com a escolha feita do fator integrante convém exigir x>2 (ou, se preferir escrever com módulo, usar |x-2|^{1/2} e então a solução fica 2x y |x-2|^{1/2}=C).

Resposta

2x y \sqrt{x-2}=C (solução implícita, válida para x>2 e y>0).

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