, dado
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com as informações adicionais
e
. O que se pede é encontrar a solução geral dessa equação diferencial (uma relação implícita entre
e
que satisfaça a equação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de . - Domínio indicado:
, .
Passo 2
Primeiro teste: verificar se a equação é exata. Para isso calculo as derivadas parciais
Como
em geral (por exemplo,
não é igual a
), a equação não é exata na forma dada. Então vou tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Dica prática para fator integrante dependendo só de
: se a quantidade
depender apenas de
, então existe um fator integrante do tipo
, onde
é essa quantidade.
Calculo essa quantidade:
então
Fatorando
obtemos
Isso depende apenas de
, portanto existe um fator integrante
dado por
Faço a integral:
Logo posso tomar (usando a forma sem valor absoluto para o caso real
; veremos a observação de domínio depois)
Passo 4
Multiplico toda a equação por
. Os novos coeficientes são
Agora verifico exatidão: calculemos
Para
uso a regra do produto (ou derivada de quociente), obtendo depois de simplificar
Note que
Portanto
ou seja, após multiplicar por
a equação ficou exata. Bom sinal — vamos achar a função potencial.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
Integro em relação a
(tratando
como constante):
Faço a substituição
(então
e
) para avaliar a integral:
Integro termo a termo:
Somando e voltando a
(lembrando
):
Portanto a função potencial vale
Passo 6
Agora imponho
. Calculo
Mas temos
Igualando
e isolando
:
Colocando os termos sobre o mesmo denominador
e simplificando, o lado direito anula-se (as dependências em
cancelam), ficando
. Logo
é constante, digamos
.
Assim a função potencial (até constante) é
Fatorando
obtemos uma forma mais simples:
A solução geral implícita da equação exata é
constante.
Passo 7
Concluo que a solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária. Observação sobre domínio: a expressão com
é real para
. Como o enunciado informou
, para ter solução real e contínua com a escolha feita do fator integrante convém exigir
(ou, se preferir escrever com módulo, usar
e então a solução fica
).