7 Um sistema amortecido apresenta amplitude máxima de
quando excitado por:
a
, com massa
. Determine:
a. A rigidez
.
b. O amortecimento
.
c. O coeficiente adimensional de amortecimento
.
a. A rigidez
b. O amortecimento
c. O coeficiente adimensional de amortecimento
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Força excitante:
. Então a amplitude da força é (unidades de newton). - A amplitude máxima da resposta (deslocamento) obtida quando
é . - Massa:
.
Observação numérica: convertopara metros: - Força excitante:
-
O enunciado pede:
(a) a rigidez(em );
(b) o amortecimento(em );
(c) o coeficiente adimensional de amortecimento.
Passo 2
Explicar as fórmulas físicas e introduzir as incógnitas.
Para um sistema massa-mola-amortecedor excitado harmonicamente na regime estacionário, a amplitude do deslocamento em frequência
é
Aqui:
-
é a amplitude da força aplicada (no nosso caso ); -
é a massa; -
é a rigidez (o que queremos achar); -
é o coeficiente de amortecimento (o que queremos achar); -
é a frequência da excitação.
Também definimos a frequência natural não amortecida
e o coeficiente adimensional de amortecimento
Passo 3
Usar a propriedade "amplitude máxima ocorre em
".
Para um sistema subamortecido (caso físico usual), a amplitude
atinge um pico em
desde que
. Aqui o enunciado diz que a frequência onde ocorre o máximo é
. Portanto temos a relação
Como
, isso dá a primeira equação entre
e
:
Passo 4
Expressar a amplitude máxima em função de
e
.
Avalio a expressão de
no pico
. É conveniente reescrever
em termos de
e
. Definindo
tem-se
No pico
. Substituindo
e simplificando (faço o desenvolvimento para você ver a conta):
Somando:
Portanto a amplitude máxima é
Reorganizando para
obtemos a segunda relação:
Passo 5
Igualar as duas expressões para
e obter uma equação só em
.
Igualando as caixas dos passos anteriores:
Defino constantes numéricas para facilitar:
Então a equação fica
Multiplicando em cruz e quadrando para eliminar a raiz:
Passo 6
Resolver numericamente a equação para
.
Substituindo
e
e simplificando (faço os passos algébricos resumidos), chega-se à equação quadrática em
:
cujas raízes são
Calculando numericamente obtêm-se as duas soluções
Só a solução com
corresponde a um pico real (condição para
acima). Portanto escolhemos
Explico rapidamente: a outra raiz daria
e não satisfaz a condição
, ou seja, não haveria pico de ressonância nessa faixa — logo descartada.
Passo 7
Calcular
usando a relação do passo 3 (ou passo 4).
Uso
Com
tem-se
. Então
Também confirmo (checagem): usando a outra expressão do passo 4 também dá aproximadamente o mesmo valor (boa checagem de consistência).
Passo 8
Calcular o amortecimento
.
Usando a definição
onde
. Primeiro calculo
:
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)