7 Um sistema amortecido apresenta amplitude máxima de \mathbf{1 2 ~ m m} quando excitado por:

F(t)=20 \cos (\omega t)
a \omega=18 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, com massa m=4 \mathrm{~kg}. Determine:
a. A rigidez k.
b. O amortecimento c.
c. O coeficiente adimensional de amortecimento \zeta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Força excitante: \displaystyle F(t)=20\cos(\omega t). Então a amplitude da força é \displaystyle F_0=20 (unidades de newton).
    • A amplitude máxima da resposta (deslocamento) obtida quando \omega=18\\ \mathrm{rad/s} é \displaystyle X_{\max}=12\\ \mathrm{mm}.
    • Massa: \displaystyle m=4\\ \mathrm{kg}.
    Observação numérica: converto \displaystyle X_{\max} para metros:
    X_{\max}=12\\ \mathrm{mm}=0{,}012\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede:
    (a) a rigidez \displaystyle k (em \mathrm{N/m});
    (b) o amortecimento \displaystyle c (em \mathrm{N\cdot s/m});
    (c) o coeficiente adimensional de amortecimento \displaystyle \zeta.

Passo 2

Explicar as fórmulas físicas e introduzir as incógnitas.
Para um sistema massa-mola-amortecedor excitado harmonicamente na regime estacionário, a amplitude do deslocamento em frequência \omega é
X(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
Aqui:
  • \displaystyle F_0 é a amplitude da força aplicada (no nosso caso 20);
  • \displaystyle m é a massa;
  • \displaystyle k é a rigidez (o que queremos achar);
  • \displaystyle c é o coeficiente de amortecimento (o que queremos achar);
  • \displaystyle \omega é a frequência da excitação.
Também definimos a frequência natural não amortecida
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},
e o coeficiente adimensional de amortecimento
\zeta=\frac{c}{2m\omega_n}.

Passo 3

Usar a propriedade "amplitude máxima ocorre em \omega=18\\ \mathrm{rad/s}".
Para um sistema subamortecido (caso físico usual), a amplitude X(\omega) atinge um pico em
\omega_{\text{p}}=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2},
desde que \zeta<\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Aqui o enunciado diz que a frequência onde ocorre o máximo é \omega_{\text{p}}=18\\ \mathrm{rad/s}. Portanto temos a relação
18=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}.
Como \omega_n=\sqrt{k/m}, isso dá a primeira equação entre k e \zeta:
\boxed{\;k=\dfrac{m\,(18)^2}{1-2\zeta^2}\; }.

Passo 4

Expressar a amplitude máxima em função de k e \zeta.
Avalio a expressão de X(\omega) no pico \omega=\omega_{\text{p}}. É conveniente reescrever X em termos de \omega_n e \zeta. Definindo r=\dfrac{\omega}{\omega_n} tem-se
X(\omega)=\frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.
No pico r=r_{\text{p}}=\sqrt{1-2\zeta^2}. Substituindo r_{\text{p}}^2=1-2\zeta^2 e simplificando (faço o desenvolvimento para você ver a conta):
1-r_{\text{p}}^2=2\zeta^2,
(1-r_{\text{p}}^2)^2=4\zeta^4,
(2\zeta r_{\text{p}})^2=4\zeta^2(1-2\zeta^2)=4\zeta^2-8\zeta^4.
Somando:
(1-r_{\text{p}}^2)^2+(2\zeta r_{\text{p}})^2 = 4\zeta^2-4\zeta^4 = 4\zeta^2(1-\zeta^2).
Portanto a amplitude máxima é
X_{\max}=X(\omega_{\text{p}})=\frac{F_0/k}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}.
Reorganizando para k obtemos a segunda relação:
\boxed{\;k=\dfrac{F_0}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}\;X_{\max}}\; }.

Passo 5

Igualar as duas expressões para k e obter uma equação só em \zeta.
Igualando as caixas dos passos anteriores:
\frac{m(18)^2}{1-2\zeta^2}=\frac{F_0}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}\;X_{\max}}.
Defino constantes numéricas para facilitar:
A=m(18)^2=4\cdot 18^2=4\cdot 324=1296,
B=\frac{F_0}{2X_{\max}}=\frac{20}{2\cdot 0{,}012}=\frac{20}{0{,}024}=\frac{2500}{3}\approx 833{,}333\ldots
Então a equação fica
\frac{A}{1-2\zeta^2}=\frac{B}{\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}.
Multiplicando em cruz e quadrando para eliminar a raiz:
A^2\zeta^2(1-\zeta^2)=B^2(1-2\zeta^2)^2.

Passo 6

Resolver numericamente a equação para \zeta.
Substituindo A=1296 e B=\dfrac{2500}{3} e simplificando (faço os passos algébricos resumidos), chega-se à equação quadrática em y=\zeta^2:
6{,}41864704\,y^2-6{,}41864704\,y+1=0,
cujas raízes são
y=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot\frac{1}{6{,}41864704}}}{2}.
Calculando numericamente obtêm-se as duas soluções
y_1\approx 0{,}80699,\qquad y_2\approx 0{,}19301.
Só a solução com \zeta<1/\sqrt{2}\approx0{,}7071 corresponde a um pico real (condição para \omega_{\text{p}} acima). Portanto escolhemos
\zeta^2\approx 0{,}19301\quad\Rightarrow\quad \zeta\approx\sqrt{0{,}19301}\approx 0{,}4393.
Explico rapidamente: a outra raiz daria \zeta\approx0{,}8983 e não satisfaz a condição \zeta<1/\sqrt{2}, ou seja, não haveria pico de ressonância nessa faixa — logo descartada.

Passo 7

Calcular k usando a relação do passo 3 (ou passo 4).
Uso
k=\frac{m(18)^2}{1-2\zeta^2}.
Com \zeta^2\approx0{,}19301 tem-se 1-2\zeta^2\approx0{,}61398. Então
k\approx\frac{1296}{0{,}61398}\approx 2111{,}3\\ \mathrm{N/m}.
Também confirmo (checagem): usando a outra expressão do passo 4 também dá aproximadamente o mesmo valor (boa checagem de consistência).

Passo 8

Calcular o amortecimento c.
Usando a definição
c=2m\zeta\omega_n,
onde \omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. Primeiro calculo \omega_n:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}\approx\sqrt{\frac{2111{,}3}{4}}\approx\sqrt{527{,}825}\approx 22{,}99\\ \mathrm{rad/s}.
Logo
c\approx 2\cdot 4\cdot 0{,}4393\cdot 22{,}99 \approx 80{,}8\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

Resposta

(a) k\approx 2{,}11\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}
(b) c\approx 80{,}8\\ \mathrm{N\cdot s/m}
(c) \zeta\approx 0{,}439

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