A partir da sequência discreta abaixo faça o que se pede:
x[n]=(12)^n u[n]
Calcule a transformada Z pela definição.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a sequência discreta
x[n]=l(tfrac12r)^n,u[n]
e pede pra calcular a Transformada Z usando a definição.
Conteúdo: Transformada Z de séries discretas e soma de série geométrica.
O que vamos usar:
  • Definição da Transformada Z: .
  • Propriedade do passo unitário (ele zera tudo para ).
  • Fórmula da soma de série geométrica: quando .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição da Transformada Z bem mastigada:
X(z);=;sumn=-infty^infty x[n],z^-n
Como X(z)=sumn=0^inftyx[n],z^-n é multiplicado por , a parte para é zero. Então a soma vira

Passo 3

Substituindo X(z)=sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n,z^-n =sumn=0^inftyl(tfrac12,z^-1r)^n dentro da soma:
Aqui a gente simplesmente juntou os fatores que dependem de .

Passo 4

Agora reconhece uma série geométrica do tipo sumn=0^infty a^n=11-a,válido se |a|<1 .
Na nossa soma, .
A fórmula é
á
Então aplicando isso:

Passo 5

X(z) =11 - l(tfrac12,z^-1r) =11 - tfrac12,z^-1
Pra garantir convergência, a gente precisa de , ou seja .

Resposta

boxedX(z)=11 - tfrac12,z^-1, ROC: |z|>tfrac12

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