Considere um sistema que multiplica uma dada entrada por uma função rampa
, ou seja,
, em que
e
são, respectivamente a entrada e a saída do sistema. Responda:
O sistema é sem memória? Justifique sua resposta;
O sistema é sem memória? Justifique sua resposta;
Passo 1
O enunciado dá:
- A função rampa
, onde é a função degrau unitário. - O sistema definido por
, em que é a entrada e a saída.
A pergunta é: o sistema é sem memória? Peço para justificar a resposta.
Passo 2
Definição precisa e operacional de “sem memória” (memoryless):
- Um sistema é sem memória se, para todo instante fixo
, o valor da saída em depende somente do valor da entrada em (e possivelmente de e de parâmetros fixos), e não depende de valores da entrada em instantes diferentes de . - Uma forma prática dessa definição: se duas entradas
e satisfazem , então as saídas correspondentes e devem satisfazer para todo .
Vou explicar cada peça da definição de maneira bem simples:
- "Depende somente de
" significa que, para determinar , não precisamos saber o que ocorreu com em nem em . - É permitido que a relação envolva o próprio
(sistem as que mudam no tempo ainda podem ser sem memória).
Passo 3
Aplicando a definição ao sistema dado:
- Para um instante arbitrário
, a saída é
- Aqui
é um número conhecido (dependente de apenas), e a única parte da entrada que aparece é . - Portanto, se duas entradas
e satisfazem , então
- Isso é exatamente a condição que garante que o sistema é sem memória.
Passo 4
Observações importantes e intuitivas (para não confundir):
- Mesmo que para
tenha porque , e assim independentemente de , isso ainda satisfaz a condição de memória zero: o valor de é determinado apenas por (neste caso o fator nulo faz com que a saída seja sempre zero naquele ). - O fato de
depender de faz com que o sistema seja, em geral, variante no tempo (time-varying). Ser time-varying não impede ser sem memória. Aqui: sem memória, mas time-varying.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia:
- Escolha
, então . Se então . Saber em não é necessário para calcular . - Se escolher
, então , logo qualquer que seja ; ainda assim não se usa informação de em outros instantes.
Resposta
O sistema é sem memória.