Considere um sistema que multiplica uma dada entrada por uma função rampa r(t)=t \times u(t), ou seja, y(t)=r(t) \times x(t), em que x(t) e y(t) são, respectivamente a entrada e a saída do sistema. Responda:
O sistema é sem memória? Justifique sua resposta;

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função rampa \,r(t)=t\cdot u(t)\,, onde u(t) é a função degrau unitário.
  • O sistema definido por \;y(t)=r(t)\,x(t)\;, em que x(t) é a entrada e y(t) a saída.
A pergunta é: o sistema é sem memória? Peço para justificar a resposta.

Passo 2

Definição precisa e operacional de “sem memória” (memoryless):
  • Um sistema é sem memória se, para todo instante fixo \,t_0, o valor da saída em \,t_0 depende somente do valor da entrada em \,t_0 (e possivelmente de t_0 e de parâmetros fixos), e não depende de valores da entrada em instantes diferentes de \,t_0.
  • Uma forma prática dessa definição: se duas entradas x_1(t) e x_2(t) satisfazem x_1(t_0)=x_2(t_0), então as saídas correspondentes y_1(t) e y_2(t) devem satisfazer y_1(t_0)=y_2(t_0) para todo t_0.
Vou explicar cada peça da definição de maneira bem simples:
  • "Depende somente de x(t_0)" significa que, para determinar y(t_0), não precisamos saber o que ocorreu com x(t) em t<t_0 nem em t>t_0.
  • É permitido que a relação envolva o próprio t_0 (sistem as que mudam no tempo ainda podem ser sem memória).

Passo 3

Aplicando a definição ao sistema dado:
  • Para um instante arbitrário \,t_0, a saída é
y(t_0)=r(t_0)\,x(t_0).
  • Aqui \,r(t_0)\, é um número conhecido (dependente de t_0 apenas), e a única parte da entrada que aparece é \,x(t_0)\,.
  • Portanto, se duas entradas x_1 e x_2 satisfazem x_1(t_0)=x_2(t_0), então
y_1(t_0)=r(t_0)\,x_1(t_0)=r(t_0)\,x_2(t_0)=y_2(t_0).
  • Isso é exatamente a condição que garante que o sistema é sem memória.

Passo 4

Observações importantes e intuitivas (para não confundir):
  • Mesmo que para t_0<0 tenha \,r(t_0)=0 porque u(t_0)=0, e assim y(t_0)=0 independentemente de x(t_0), isso ainda satisfaz a condição de memória zero: o valor de y(t_0) é determinado apenas por x(t_0) (neste caso o fator nulo faz com que a saída seja sempre zero naquele t_0).
  • O fato de r(t) depender de t faz com que o sistema seja, em geral, variante no tempo (time-varying). Ser time-varying não impede ser sem memória. Aqui: sem memória, mas time-varying.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia:
  • Escolha t_0=1, então r(1)=1\cdot u(1)=1. Se x(t_0)=2 então y(1)=1\cdot 2=2. Saber x(t) em t\neq1 não é necessário para calcular y(1).
  • Se escolher t_0=-1, então r(-1)=(-1)\cdot u(-1)=0, logo y(-1)=0 qualquer que seja x(-1); ainda assim não se usa informação de x em outros instantes.

Resposta

O sistema é sem memória.

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