Considere um sistema que multiplica uma dada entrada por uma função rampa
, ou seja,
, em que
e
são, respectivamente a entrada e a saída do sistema. Responda:
O sistema é causal? Justifique sua resposta;
O sistema é causal? Justifique sua resposta;
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função rampa
, onde é o degrau unitário (ou seja, para e para ). - A lei do sistema
, em que é a entrada e a saída.
A pergunta é: o sistema é causal? (ou seja, a saída em qualquer instante
depende apenas da entrada em instantes
— presente e passado — e não do futuro).
Passo 2
Vou escrever a definição formal de causalidade de um sistema (em palavras simples e em forma matemática):
- Definição verbal: um sistema é causal se, para qualquer instante
, a saída em depende apenas dos valores da entrada em instantes . - Definição em forma de teste: se para duas entradas quaisquer
e vale para todo , então o sistema é causal se implicar que , onde é a saída gerada por .
Essa definição é prática para provar causalidade algebraicamente.
Passo 3
Aplicando essa definição ao sistema dado. Seja um instante fixo
. Suponha que duas entradas
e
coincidem para todos os instantes passados e presentes até
:
As saídas correspondentes em
são
Como
(porque
está incluído em
), segue que
Portanto, para qualquer
e quaisquer
que concordem no passado/presente até
, as saídas concordam em
. Isso é exatamente a condição de causalidade satisfeita.
Passo 4
Intuição extra e observações úteis para a prova:
- O fator
é uma função conhecida do tempo, independente da entrada. Multiplicar a entrada por uma função pré-determinada do tempo não usa valores futuros de , então não introduz dependência de futuro. - O sistema é também sem memória (memoryless), pois
depende apenas de no mesmo instante , e não de valores com . Sistemas sem memória são sempre causais. - Para
, como , tem-se e portanto , ou seja, saída nula para tempos negativos independentemente da entrada — ainda assim compatível com causalidade.
Resposta
Sim. O sistema é causal.