Considere um sistema que multiplica uma dada entrada por uma função rampa r(t)=t \times u(t), ou seja, y(t)=r(t) \times x(t), em que x(t) e y(t) são, respectivamente a entrada e a saída do sistema. Responda:
O sistema é causal? Justifique sua resposta;

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função rampa \,r(t)=t\cdot u(t)\,, onde \,u(t)\, é o degrau unitário (ou seja, \,u(t)=0 para t<0 e \,u(t)=1 para t\ge0).
  • A lei do sistema \;y(t)=r(t)\,x(t)\;, em que \,x(t)\, é a entrada e \,y(t)\, a saída.
A pergunta é: o sistema é causal? (ou seja, a saída em qualquer instante t_0 depende apenas da entrada em instantes \le t_0 — presente e passado — e não do futuro).

Passo 2

Vou escrever a definição formal de causalidade de um sistema (em palavras simples e em forma matemática):
  • Definição verbal: um sistema é causal se, para qualquer instante t_0, a saída em t_0 depende apenas dos valores da entrada em instantes \tau\le t_0.
  • Definição em forma de teste: se para duas entradas quaisquer x_1(t) e x_2(t) vale \,x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0, então o sistema é causal se implicar que \,y_1(t_0)=y_2(t_0), onde \,y_i é a saída gerada por \,x_i.
Essa definição é prática para provar causalidade algebraicamente.

Passo 3

Aplicando essa definição ao sistema dado. Seja um instante fixo t_0. Suponha que duas entradas x_1 e x_2 coincidem para todos os instantes passados e presentes até t_0:
x_1(\tau)=x_2(\tau)\quad\text{para todo }\tau\le t_0.
As saídas correspondentes em t_0 são
y_1(t_0)=r(t_0)\,x_1(t_0),\qquad y_2(t_0)=r(t_0)\,x_2(t_0).
Como x_1(t_0)=x_2(t_0) (porque \,t_0 está incluído em \tau\le t_0), segue que
y_1(t_0)=r(t_0)\,x_1(t_0)=r(t_0)\,x_2(t_0)=y_2(t_0).
Portanto, para qualquer t_0 e quaisquer x_1,x_2 que concordem no passado/presente até t_0, as saídas concordam em t_0. Isso é exatamente a condição de causalidade satisfeita.

Passo 4

Intuição extra e observações úteis para a prova:
  • O fator r(t)=t\,u(t) é uma função conhecida do tempo, independente da entrada. Multiplicar a entrada por uma função pré-determinada do tempo não usa valores futuros de x, então não introduz dependência de futuro.
  • O sistema é também sem memória (memoryless), pois y(t) depende apenas de x(t) no mesmo instante t, e não de valores x(\tau) com \tau\neq t. Sistemas sem memória são sempre causais.
  • Para t<0, como u(t)=0, tem-se r(t)=0 e portanto y(t)=0, ou seja, saída nula para tempos negativos independentemente da entrada — ainda assim compatível com causalidade.

Resposta

Sim. O sistema é causal.

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