Considere um sistema ondulatório genérico, de apenas uma dimensão. Por exemplo, uma corda cujas extremidades estão presas na estrutura de um violão. Este sistema forma uma cavidade, a qual impõe uma restrição à constante de propagação da onda ( k). Analise esta situação a fim de demonstrar a relação matemática que impõe tal restrição a k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala de uma corda presa nas duas pontas, tipo no violão, gerando ondas só numa dimensão (o comprimento da corda). O que eles querem é descobrir como a geometria “obriga” o número de onda a assumir valores especiais.
Conteúdo: ondas numa dimensão, solução da equação da onda e condições de contorno em extremidades fixas.
O que vamos precisar:
  1. Equação da onda unidimensional.
  2. Solução geral em termos de funções seno e cosseno espacialmente.
  3. Aplicar as condições de extremidades presas (deslocamento zero nas pontas) para achar a “quantização” de .

Passo 2

A equação da onda numa dimensão para o deslocamento partial^2 ypartial t^2 = v^2 ,partial^2 ypartial x^2, da corda é
y(x,t) = X(x),T(t)
onde 1v^2,T''(t)T(t) = X''(x)X(x) = -k^2, é a velocidade de propagação. A técnica de separação de variáveis diz que podemos tentar
X''(x) + k^2 X(x) = 0, T''(t) + (v k)^2 T(t) = 0
Substituindo e dividindo tudo por a gente obtém duas equações:
onde é uma constante de separação (o sinal negativo garante soluções oscilatórias). Então as equações viram:

Passo 3

Focando na parte espacial X(x) = Acos(kx) + Bsin(kx) , a solução geral é
Aqui e são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 4

Agora impomos as extremidades presas:
  1. Em X(x) = Bsin(kx) , a corda não se mexe: sin(kL)=0 ;;Longrightarrow;; kL = npi, para todo . Como não é a função zero, precisamos de .
    • . Então .
      Logo sobra
  2. Em , também é zero: . Para não ter a solução trivial (corda morta), exigimos com .

Passo 5

Desse jeito chegamos à condição que “quantiza” k = npiL, :
ou seja, somente esses valores de fazem a corda vibrar respeitando as extremidades fixas.

Resposta

boxedkn = npiL, n = 1,2,3,dots

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