Considere um sistema ondulatório genérico, de apenas uma dimensão. Por exemplo, uma corda cujas extremidades estão presas na estrutura de um violão. Este sistema forma uma cavidade, a qual impõe uma restrição à constante de propagação da onda (
). Analise esta situação a fim de demonstrar a relação matemática que impõe tal restrição a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala de uma corda presa nas duas pontas, tipo no violão, gerando ondas só numa dimensão (o comprimento da corda). O que eles querem é descobrir como a geometria “obriga” o número de onda
a assumir valores especiais.
Conteúdo: ondas numa dimensão, solução da equação da onda e condições de contorno em extremidades fixas.
O que vamos precisar:
Conteúdo: ondas numa dimensão, solução da equação da onda e condições de contorno em extremidades fixas.
O que vamos precisar:
- Equação da onda unidimensional.
- Solução geral em termos de funções seno e cosseno espacialmente.
- Aplicar as condições de extremidades presas (deslocamento zero nas pontas) para achar a “quantização” de
.
Passo 2
A equação da onda numa dimensão para o deslocamento
da corda é
onde
é a velocidade de propagação. A técnica de separação de variáveis diz que podemos tentar
Substituindo e dividindo tudo por
a gente obtém duas equações:
onde
é uma constante de separação (o sinal negativo garante soluções oscilatórias). Então as equações viram:
Passo 3
Focando na parte espacial
, a solução geral é
Aqui
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 4
Agora impomos as extremidades presas:
- Em
, a corda não se mexe: para todo . Como não é a função zero, precisamos de . -
. Então .
Logo sobra
-
- Em
, também é zero: . Para não ter a solução trivial (corda morta), exigimos com .
Passo 5
Desse jeito chegamos à condição que “quantiza”
:
ou seja, somente esses valores de
fazem a corda vibrar respeitando as extremidades fixas.