Considere um sistema com
partículas, todos com massas iguais à
. Obtenha a massa total
do sistema para os seguintes casos: (Lembrete
)
a)
partículas.
b)
partículas:
c)
partículas:,
um valor inteiro. Obs: Analise os resultados dos itens (advinhe por meio do racíocínio) a resposta desse item.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa total
de um sistema com
partículas, todas com massa igual a
. Foi dado o lembrete
As perguntas são:
a) Calcular quando
.
b) Calcular quando
.
c) Calcular quando
, com
um inteiro (pedem para analisar/adivinhar o resultado pelo raciocínio).
a) Calcular
b) Calcular
c) Calcular
Informações relevantes: todas as massas são iguais entre si e valem
; o número de partículas
muda conforme o item.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente que, como todas as partículas têm a mesma massa, para todo
vale
Substituindo isso na soma do lembrete, obtemos a soma de
termos iguais:
Isto é só uma soma repetida do mesmo número
.
Passo 3
A soma de
termos iguais é igual ao produto desse termo pela quantidade de termos. Em termos algébricos podemos fatorar
na soma:
Aqui usamos que cada termo é
; assim podemos tirar
fora da soma.
Passo 4
Sabemos que somar
vezes dá exatamente
:
Substituindo no passo anterior obtemos a fórmula geral simples:
Essa é a razão lógica: multiplicação é soma repetida.
Passo 5
Aplicando a fórmula geral aos casos concretos:
Para o item (a) com , substituímos
em
:
Para o item (a) com
Se quiser pensar sem TeX: é
, que dá
.
Passo 6
Para o item (b) com
, fazemos o mesmo:
Isto corresponde a somar
vinte vezes:
(20 vezes).
Passo 7
Para o item (c) com
(um inteiro qualquer), a generalização já foi obtida no passo 4. Assim,
A análise/adição por raciocínio: olhando para os resultados dos itens (a) e (b) vemos o padrão imediato — multiplicar
pelo número de partículas — e por isso a resposta geral é
.
Passo 8
Comentário prático e incentivo: isso é algo muito comum em prova — reconhecer que uma soma de termos idênticos vira multiplicação. Um exemplo numérico para fixar: se
e
, então
. Você já tacou a ideia certa: transformar soma repetida em multiplicação é a chave.