Considere um sistema com n partículas, todos com massas iguais à m. Obtenha a massa total M do sistema para os seguintes casos: (Lembrete M=\sum_{i=1}^{n} m_{i} )
a) (0,2) n=3 partículas.
b) (0,2) n=20 partículas:
c) (0,4) n=N partículas:, N um valor inteiro. Obs: Analise os resultados dos itens (advinhe por meio do racíocínio) a resposta desse item.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa total M de um sistema com n partículas, todas com massa igual a m. Foi dado o lembrete
M=\sum_{i=1}^{n} m_{i}.
As perguntas são:
a) Calcular M quando n=3.
b) Calcular M quando n=20.
c) Calcular M quando n=N, com N um inteiro (pedem para analisar/adivinhar o resultado pelo raciocínio).
Informações relevantes: todas as massas são iguais entre si e valem m; o número de partículas n muda conforme o item.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente que, como todas as partículas têm a mesma massa, para todo i vale
m_{i}=m.
Substituindo isso na soma do lembrete, obtemos a soma de n termos iguais:
M=\sum_{i=1}^{n} m = m + m + \dots + m \quad(\text{\(n\) vezes}).
Isto é só uma soma repetida do mesmo número m.

Passo 3

A soma de n termos iguais é igual ao produto desse termo pela quantidade de termos. Em termos algébricos podemos fatorar m na soma:
M=\sum_{i=1}^{n} m = m\sum_{i=1}^{n} 1.
Aqui usamos que cada termo é m= m\cdot 1; assim podemos tirar m fora da soma.

Passo 4

Sabemos que somar 1 n vezes dá exatamente n:
\sum_{i=1}^{n} 1 = n.
Substituindo no passo anterior obtemos a fórmula geral simples:
M = m\cdot n.
Essa é a razão lógica: multiplicação é soma repetida.

Passo 5

Aplicando a fórmula geral aos casos concretos:
Para o item (a) com n=3, substituímos n=3 em M=m\cdot n:
M = m\cdot 3.
Se quiser pensar sem TeX: é m+m+m, que dá 3m.

Passo 6

Para o item (b) com n=20, fazemos o mesmo:
M = m\cdot 20.
Isto corresponde a somar m vinte vezes: m+m+\dots+m (20 vezes).

Passo 7

Para o item (c) com n=N (um inteiro qualquer), a generalização já foi obtida no passo 4. Assim,
M = m\cdot N.
A análise/adição por raciocínio: olhando para os resultados dos itens (a) e (b) vemos o padrão imediato — multiplicar m pelo número de partículas — e por isso a resposta geral é M=Nm.

Passo 8

Comentário prático e incentivo: isso é algo muito comum em prova — reconhecer que uma soma de termos idênticos vira multiplicação. Um exemplo numérico para fixar: se m=2\\ \text{kg} e N=5, então M=2\cdot 5=10\\ \text{kg}. Você já tacou a ideia certa: transformar soma repetida em multiplicação é a chave.

Resposta

M=3m
M=20m
M=Nm

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