Calcule o trabalho de um corpo de massa M=50 \mathrm{~kg} para os seguintes casos de velocidades inicial e final:
b) \vec{v}_{i}=3 \tan \alpha \hat{x}, \vec{v}_{f}=3 \operatorname{sec} \alpha \hat{x}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a massa do corpo: M=50\\ \mathrm{kg}.
  • Dá as velocidades inicial e final (ambas colineares com \hat{x}):
    \displaystyle \vec{v}_{i}=3\tan\alpha\,\hat{x} e \displaystyle \vec{v}_{f}=3\operatorname{sec}\alpha\,\hat{x}.
  • Pede o trabalho realizado no processo (ou seja, o trabalho necessário para alterar a velocidade de \vec{v}_{i} para \vec{v}_{f}).
  • Observação: vou supor unidades SI para velocidade (m/s) e massa (kg), então o trabalho virá em joules (J).

Passo 2

Qual fórmula usamos e por quê (explicação didática):
  • O trabalho resultante sobre uma partícula é igual à variação de sua energia cinética. Esta é a chamada Teorema Trabalho-Energia Cinética.
  • Vou mostrar uma derivação curta e intuitiva da fórmula para você lembrar na prova: W=\int_{\text{início}}^{\text{fim}}\vec{F}\cdot d\vec{r}.íUsando a segunda lei de Newton \vec{F}=m\vec{a} e \vec{v}=d\vec{r}/dt, temos W=\int_{t_i}^{t_f} m\vec{a}\cdot\vec{v}\,dt.Como \vec{a}\cdot\vec{v}=\dfrac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}v^2\right), segue W = m\int_{t_i}^{t_f} \frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}v^2\right)\,dt = m\left[\tfrac{1}{2}v^2\right]_{v_i}^{v_f} = \tfrac{1}{2}m\bigl(v_f^2-v_i^2\bigr).
  • Portanto, para calcular o trabalho basta calcular a diferença das energias cinéticas inicial e final: W=\tfrac{1}{2}M\bigl(v_f^2-v_i^2\bigr).Aqui M é a massa e v_i,v_f são as magnitudes (escalares) das velocidades inicial e final.

Passo 3

Calcular v_i^2 e v_f^2 a partir dos dados:
  • Como as velocidades são colineares com \hat{x}, as magnitudes são simplesmente: v_i = 3\tan\alpha,\qquad v_f = 3\operatorname{sec}\alpha.
  • Elevando ao quadrado: v_i^2 = (3\tan\alpha)^2 = 9\tan^2\alpha,
v_f^2 = (3\operatorname{sec}\alpha)^2 = 9\operatorname{sec}^2\alpha.

Passo 4

Substituir na expressão do trabalho e simplificar:
  • Substituindo em W=\tfrac{1}{2}M\bigl(v_f^2-v_i^2\bigr): W=\tfrac{1}{2}\cdot 50\bigl(9\operatorname{sec}^2\alpha-9\tan^2\alpha\bigr).
  • Fatorando 9 e calculando \tfrac{1}{2}\cdot 50 = 25: W=25\cdot 9\bigl(\operatorname{sec}^2\alpha-\tan^2\alpha\bigr) =225\bigl(\operatorname{sec}^2\alpha-\tan^2\alpha\bigr).

Passo 5

Usar identidade trigonométrica para deixar o resultado numérico:
  • Lembra da identidade básica obtida dividindo \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 por \cos^2\alpha: \tan^2\alpha+1=\operatorname{sec}^2\alpha \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}^2\alpha-\tan^2\alpha=1.
  • Então a expressão do trabalho fica simplesmente W=225\cdot 1 = 225.
  • Unidade: joules (J), pois usamos massa em kg e velocidades em m/s.

Passo 6

Cheque numérico rápido (exemplo para ganhar confiança):
  • Escolha \alpha=30^\circ. Então \tan30^\circ=\tfrac{1}{\sqrt{3}} e \sec30^\circ=\tfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • v_i=3\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, v_f=3\cdot\tfrac{2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.
  • v_f^2-v_i^2=(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2=12-3=9.
  • W=\tfrac{1}{2}\cdot 50\cdot 9=25\cdot 9=225\\ \mathrm{J}. Confere com o resultado geral.

Resposta

225\\ \mathrm{J}

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