(a) Encontre a solução geral real do sistema.
(b) Encontre a solução particular que satisfaz X(0)=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com matriz constante
Devemos encontrar X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[2pt]y(t)\\[2pt]z(t)\end{pmatrix} que satisfaz o sistema e, depois, escolher constantes para a condição inicial.]
Passo 2
Observe a estrutura da matriz A: a terceira equação é isolada porque a terceira linha é (0,0,1). Então a equação para z é
z' = 1\cdot z,
que é simples de resolver. Isso nos dá a primeira peça da solução.
Resolver z' = z: a solução geral é
z(t)=C_3 e^{t},
onde C_3 é uma constante real arbitrária.
Passo 3
Agora escrevemos as duas primeiras equações, usando z(t)=C_3 e^{t}\). As duas primeiras equações são
\[\begin{cases} x' = x + y,\\[4pt] y' = -x + z. \end{cases}
Substituindo z(t)=C_3 e^{t}\] obtemos um sistema de ordem 1 não-homogêneo para \(u(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[2pt]y(t)\end{pmatrix}:
u' = B u + f(t), \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\qquad f(t)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]C_3 e^{t}\end{pmatrix}.
Resolveremos primeiro a homogênea u'=Bu e depois encontraremos uma solução particular para a parte não-homogênea.]
Passo 4
A equação não-homogênea tem termo forçante da forma e^{t}\). Como \(e^{t}\) não é solução da homogênea (veremos as raízes do característico abaixo), podemos tentar uma solução particular do tipo constante vezes \(e^{t}\):
\[u_p(t)=A e^{t},\quad A\in\mathbb{R}^2.
Substituindo em u' = B u + f e cancelando e^{t} obtemos
A = B A + C_3\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix},