Considere o sistema
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) X
(a) Encontre a solução geral real do sistema.
(b) Encontre a solução particular que satisfaz X(0)=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com matriz constante
X' = A X,\qquad A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},
e pede:
  • (a) a solução geral real do sistema;
  • (b) a solução particular que satisfaz X(0)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Devemos encontrar X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[2pt]y(t)\\[2pt]z(t)\end{pmatrix} que satisfaz o sistema e, depois, escolher constantes para a condição inicial.]

Passo 2

Observe a estrutura da matriz A: a terceira equação é isolada porque a terceira linha é (0,0,1). Então a equação para z é
z' = 1\cdot z,
que é simples de resolver. Isso nos dá a primeira peça da solução.
Resolver z' = z: a solução geral é
z(t)=C_3 e^{t},
onde C_3 é uma constante real arbitrária.

Passo 3

Agora escrevemos as duas primeiras equações, usando z(t)=C_3 e^{t}\). As duas primeiras equações são \[\begin{cases} x' = x + y,\\[4pt] y' = -x + z. \end{cases}
Substituindo z(t)=C_3 e^{t}\] obtemos um sistema de ordem 1 não-homogêneo para \(u(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[2pt]y(t)\end{pmatrix}:
u' = B u + f(t), \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\qquad f(t)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]C_3 e^{t}\end{pmatrix}.
Resolveremos primeiro a homogênea u'=Bu e depois encontraremos uma solução particular para a parte não-homogênea.]

Passo 4

A equação não-homogênea tem termo forçante da forma e^{t}\). Como \(e^{t}\) não é solução da homogênea (veremos as raízes do característico abaixo), podemos tentar uma solução particular do tipo constante vezes \(e^{t}\): \[u_p(t)=A e^{t},\quad A\in\mathbb{R}^2.
Substituindo em u' = B u + f e cancelando e^{t} obtemos
A = B A + C_3\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix},
ou seja
(I-B)A = C_3\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Calculamos I-B:
I-B=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Seja A=\begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix}. O sistema (I-B)A = C_3(0,1)^T
\begin{cases} -b = 0,\\[4pt] a + b = C_3. \end{cases}
Da primeira equação b=0\]. Da segunda \(a=C_3. Logo
A=\begin{pmatrix}C_3\\[2pt]0\end{pmatrix},
e a solução particular é
u_p(t)=\begin{pmatrix}C_3\\[2pt]0\end{pmatrix} e^{t}.]

Passo 5

Agora resolvemos a homogênea u'=Bu. Podemos reduzir a um único segundo-ordem: da homogênea
x' = x + y,\qquad y' = -x.
Da segunda, x=-y'. Substituindo na primeira:
(-y')' = -y'' = x' = x + y = -y' + y.
Rearranjando,
y'' - y' + y = 0.
É uma equação linear homogênea com característica
r^2 - r + 1 = 0.
As raízes são
r = \frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Escrevendo r = \alpha \pm i\beta temos
\alpha=\tfrac{1}{2},\qquad \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a solução geral real para y é
y_h(t)=e^{\alpha t}\bigl(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\bigr),
com constantes reais C_1,C_2. Então x_h = -y'_h. Vamos calcular y'_h explicitamente para obter x_h.

Passo 6

Calcule y'_h. Com y_h(t)=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t) temos
y'_h(t)=e^{\alpha t}\bigl((\alpha C_1+\beta C_2)\cos\beta t + (\alpha C_2-\beta C_1)\sin\beta t\bigr).
Logo
x_h(t)=-y'_h(t)=e^{\alpha t}\bigl((-\alpha C_1-\beta C_2)\cos\beta t + (-\alpha C_2+\beta C_1)\sin\beta t\bigr).
Recordando \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, escrevemos explicitamente x_h e y_h.

Passo 7

A solução geral do sistema completo é a soma das partes homogênea e particular (para x,y), e a solução de z. Assim, com constantes reais C_1,C_2,C_3,
\begin{aligned} x(t)&=e^{\tfrac{t}{2}}\Bigl(\bigl(-\tfrac{1}{2}C_1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr) +\bigl(-\tfrac{1}{2}C_2+\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_1\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)\Bigr) + C_3 e^{t},\\[6pt] y(t)&=e^{\tfrac{t}{2}}\Bigl(C_1\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)+C_2\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)\Bigr),\\[6pt] z(t)&=C_3 e^{t}. \end{aligned}
Isto resolve o item (a): é a solução geral real com constantes C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Agora aplicamos a condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} para determinar C_1,C_2,C_3.
Avalie em t=0. Note que e^{0}=1, \cos 0=1, \sin 0=0. Das fórmulas:
\begin{aligned} y(0)&=C_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1=1,\\[4pt] z(0)&=C_3 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_3=1,\\[4pt] x(0)&=-\tfrac{1}{2}C_1 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}C_2 + C_3 = 1. \end{aligned}
Substituindo C_1=1 e C_3=1 na última equação:
-\tfrac{1}{2}\cdot 1 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}C_2 + 1 = 1
que simplifica para
-\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{\sqrt{3}}{2}C_2 = -\tfrac{1}{2}.
Logo
C_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}.]

Passo 9

Substituindo C_1=1, C_2=-\tfrac{1}{\sqrt{3}}, C_3=1 nas expressões gerais e simplificando notamos uma boa simplificação no termo de x(t):
Calcule os coeficientes em x_h:
-\tfrac{1}{2}C_1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_2 = -\tfrac{1}{2}\cdot 1 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 0,
-\tfrac{1}{2}C_2+\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_1 = -\tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2\sqrt{3}} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{2}{\sqrt{3}}.
Portanto as soluções com essa condição inicial ficam
\begin{aligned} x(t)&=e^{\tfrac{t}{2}}\cdot \tfrac{2}{\sqrt{3}}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr) + e^{t},\\[6pt] y(t)&=e^{\tfrac{t}{2}}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr) - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)\Bigr),\\[6pt] z(t)&=e^{t}. \end{aligned}]

Resposta

\displaystyle x(t)=e^{\tfrac{t}{2}}\Bigl(\bigl(-\tfrac{1}{2}C_1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr) +\bigl(-\tfrac{1}{2}C_2+\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_1\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)\Bigr)+C_3 e^{t},
\displaystyle y(t)=e^{\tfrac{t}{2}}\Bigl(C_1\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)+C_2\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)\Bigr),
\displaystyle z(t)=C_3 e^{t}, com C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}.\n
\displaystyle x(t)=e^{\tfrac{t}{2}}\cdot \tfrac{2}{\sqrt{3}}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr) + e^{t},
\displaystyle y(t)=e^{\tfrac{t}{2}}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr) - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\bigr)\Bigr),
\displaystyle z(t)=e^{t} (para X(0)=(1,1,1)^T).

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